问题

设 $f(x)$, $g(x)$ 为区间 $I$ 上的一致连续函数. 则

1.  $\alpha f(x)+\beta g(x)$ 在 $I$ 上也是一致连续的;
2.  如果 $f(x)$, $g(x)$ 为有界函数, 则 $f(x)g(x)$ 也是一致连续的;
3.  如果 $f(x)$ 有界, 且存在 $\varepsilon_0 > 0$, 使得 $g(x)\geqslant\varepsilon_0$, $\forall x\in I$, 则 $f(x)/g(x)$ 也是一致连续的;
4.  一致连续函数的复合函数仍为一致连续函数.

见梅加强 编著 《数学分析》 P.91 命题 3.4.8