设 $a_{n+1}=a_n+\frac{a_n^2}{n^2}$, $a_1=\frac{2}{5}$, 证明 $a_n < 1$, $\forall\ n\in\mathbb{Z}^+$.
设 $a_{n+1}=a_n+\frac{a_n^2}{n^2}$, $a_1=\frac{2}{5}$, 证明 $a_n < 1$, $\forall\ n\in\mathbb{Z}^+$.
注: 此为 2023年第五届阿里巴巴数学竞赛试题之分析第一题.
证明可参见 【高中数学】第五届阿里巴巴数学竞赛决赛结束！这道题你会做吗？_哔哩哔哩_bilibili
或 (5 封私信) 如何评价2023年第五届阿里巴巴数学竞赛决赛试题? - 知乎 (zhihu.com)
这里模仿Fiddie 的证法求一下 $a_n$ 的上界.