证明: $\frac{\pi^2}{12}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}.$
提示: 令 $f(x)=x^2$, $-\pi\leqslant x\leqslant\pi$, 求它的 Fourier 展开式,
\[
x^2\sim\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{\cos nx}{n^2},
\]
然后令 $x=0$ 即可.
形式上类似的一个级数是
\[\frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}.\]
见 问题20.