$\mathbb{R}^3$ 中由互相垂直的两个单位向量所构成的向量组集合, 在赋予自然度量后成为一个流形.
考虑集合
\[D=\{(\vec{x},\vec{y})\in\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\mid \langle\vec{x},\vec{y}\rangle=0,\ \text{且}\ |\vec{x}|=|\vec{y}|=1\},\]
即
\[D=\{(\vec{x},\vec{y})\in S^2\times S^2\mid \langle\vec{x},\vec{y}\rangle=0.\}\]
并定义 $D$ 中元素之间的距离
\[\|(\vec{x},\vec{y})-(\vec{z},\vec{w})\|:=\sqrt{|\vec{x}-\vec{z}|^2+|\vec{y}-\vec{w}|^2}=\|(\vec{x}-\vec{z},\vec{y}-\vec{w})\|\]
首先证明这个度量是定义合理的, 其次证明 $D$ 在该度量诱导的拓扑之下是一个拓扑流形, 并计算它的维数.
Q. 能否将此问题推广?