度量空间的各种紧性是等价的. Bolzano-Weierstrass 性质, 可数紧, 序列紧, 紧致.
设 $\langle X,\rho\rangle$ 是度量空间, 则
\[X\ \text{具有}\ \text{Bolzano-Weierstrass}\ \text{性质}\Leftrightarrow X\ \text{可数紧}\Leftrightarrow X\ \text{序列紧}\Leftrightarrow X\ \text{紧致}\]
References:
陆文钊、陈肇姜 编著 《点集拓扑学》P.126 定理 5.5.6.