连通但非道路连通的例子.
连通但非道路连通的一个著名例子是拓扑正弦曲线.
令 $A=\{0\}\times [-1,1]$,
\[B=\{(x,y)\in\mathbb{E}^2\mid y=\sin\frac{1}{x},\quad 0 < x\leqslant 1\}\]
$X=A\cup B$. $X$ 作为 $E^2$ 的子空间, 叫做闭拓扑正弦曲线. 证明 $X$ 连通但非道路连通.
References:
陈肇姜 编著 《点集拓扑学题解与反例》P.77 题 2.2.5.
连通但非道路连通的一个著名例子是拓扑正弦曲线.
令 $A=\{0\}\times [-1,1]$,
\[B=\{(x,y)\in\mathbb{E}^2\mid y=\sin\frac{1}{x},\quad 0 < x\leqslant 1\}\]
$X=A\cup B$. $X$ 作为 $E^2$ 的子空间, 叫做闭拓扑正弦曲线. 证明 $X$ 连通但非道路连通.
References:
陈肇姜 编著 《点集拓扑学题解与反例》P.77 题 2.2.5.