问题

Def(同伦). 设 $X,Y$ 是两个拓扑空间, $F,G$ 是 $X$ 到 $Y$ 的两个连续映射. 令 $I=[0,1]$, 若存在连续映射

\[H:\ X\times I\rightarrow Y,\]

满足 $F(x)=H(x,0)$, $G(x)=H(x,1)$, 对任意 $x\in X$ 成立. 则称 $F$ 与 $G$ 是同伦的, 记为 $F\sim G$. $H$ 为同伦映射. 也称 $H$ 是链接 $F$ 和 $G$ 的一个同伦或伦移, 有时记 $H: F\sim G$.

若 $X$ 和 $Y$ 都是 $C^\infty$ 流形, 并且 $F,G$ 是 $C^\infty$ 映射. 若存在上面所述的 $C^\infty$ 映射 $H$, 则称 $F$ 和 $G$ 是光滑同伦的.

Remark 1.

$H_t(x)=H(x,t)$ 定义了一个单参数映射族 $H_t:X\rightarrow Y$, $0\leqslant t\leqslant 1$. $F=H_0$, $G=H_1$. 同伦定义中强调了 $H$ 对参数 $t$ 和变量 $x$ 都是连续的. 如果是 $C^\infty$ 同伦, 则要求都是 $C^\infty$ 的.

Remark 2.

假设 $X$ 是光滑流形.

(1) 若 $\partial X=\emptyset$, 则 $X\times I$ 是 $X\times\mathbb{R}$ 的一个 regular domain. 并且是一个带边流形. 事实上, $\partial(X\times I)=X\times\{0\}\cup X\times\{1\}$, 因此, 对于 $F,G:X\rightarrow Y$, 可以定义光滑同伦.

(2) 若 $\partial X\neq\emptyset$, 则 $X\times I$ 不是一个带边流形. (例如, 考虑 $X=\overline{B_1^2}(0)$, 2 维单位闭圆盘. $X\times I$ 虽然带边界, 但不是“光滑”流形. 尽管如此, 它仍是 $X\times\mathbb{R}$ 中的一个很好的闭区域, 而 $X\times\mathbb{R}$ 是一个带边流形. 因此仅有较小的技术问题.

Remark 3.

当 $X,Y$ 都是带边流形时, 在很多时候为了某种目的我们要求 $H_t(\partial X)\subset\partial Y$, 对所有 $t\in[0,1]$. 这与下面的同伦的推广定义有关.

当考虑 $X$ 到 $Y$ 的所有连续映射时, 它们之间的同伦是一个等价关系. 往往更重要的是映射的同伦等价类, 而非具体或特殊的代表元. 我们以一个特殊例子来阐述这一点. 在此之前先介绍同伦的推广, 所谓的相对同伦.

Def(相对同伦). 设 $X,Y$ 是两个拓扑空间, $A,B$ 分别是它们的闭子空间. 考虑二元组 $(X,A)$ 和 $(Y,B)$. 设 $F,G:\ X\rightarrow Y$ 是两个连续映射, 并且满足 $F(A)\subset B$, $G(A)\subset B$. 即 $F,G$ 连续地将 $(X,A)$ 映入 $(Y,B)$ 中. 称 $F$ 和 $G$ 是相对同伦的(relatively homotopic), 若存在连续映射 $H:X\times I\rightarrow Y$, 使得

\[H(A\times I)\subset B,\quad H(x,0)\equiv F(x),\quad H(x,1)\equiv G(x).\]

注意到, 这里我们加了条件: $H_t(A)\subset B$, 对任意 $t\in[0,1]$. 当 $A=\emptyset=B$ 时, 定义就回到了原始“同伦”的定义. 对于相对同伦, 我们还是记为 $F\sim G$.

容易验证, 相对同伦在所考虑的空间内是一个等价关系(见问题797).

译自[1] P.267

References:

[1] William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, second edition.

其他参考书:

尤承业, 基础拓扑学讲义. 北京大学出版社.