问题

设拓扑空间 $X=X_1\cup X_2$, 且 $X_1$ 和 $X_2$ 均是 $X$ 的闭子空间, $X_1\cap X_2\neq\emptyset$. $Y$ 是另一个拓扑空间. 假设有连续映射 $f_i:\ X_i\rightarrow Y$, $i=1,2$. 并且它们限制在 $X_1\cap X_2$ 是等同的. 从而可以定义映射

\[
f(x)=\begin{cases}f_1(x),& x\in X_1\\ f_2(x),& x\in X_2.\end{cases}
\]

证明: $f:X\rightarrow Y$ 是连续映射.