当 $x>1$ 时, $\zeta (x)$ 有下面的公式(参见 问题1196)

$$\zeta (x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{u^{x-1}}{e^u-1}du.$$

设计高效的计算方法来计算 $\zeta (x)$.

其中 $\zeta (2n)$ 有直接和 $\pi$ 相关的公式, 见 http://oeis.org/A002432

定义 $v(n)$ 如下:

$$\begin{array}{rl}v(1)& :=1,\\ v(n)& :=\hat{\zeta }(n)\cdot v(n-1).\end{array}$$

其中 $\hat{\zeta }(s):={\pi }^{-s/2}\cdot \mathrm{\Gamma }(\frac{s}{2})\cdot \zeta (s)$.

定义 $B(n,s)$ 如下:

$$\begin{array}{rl}B(0,s)& :=1,\mathrm{\forall }s,\\ B(n,s)& :=\sum _{m=1}^n\frac{v(m)\cdot B(n-m,-m)}{s-m}.\end{array}$$

求 $B(m,m-n)$ 的表达式, 这里 $m=1,2,\dots ,n$. 

例如

$$B(1,1-n)=-\frac{1}{n}.$$

Hurwitz zeta 函数

$$\zeta (s,a):=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+a{)}^s},\mathrm{Re}s>1,\text{且}\mathrm{Re}a>0.$$

这个函数可以扩充到整个复平面 $\mathbb{C}$ 上成为一个亚纯函数. 其 Laurent 展式为

$$\zeta (s,a)=\frac{1}{s-1}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}{\gamma }_n(a)(s-1{)}^n,$$

其中 ${\gamma }_k(a)$ 是 Stieltjes 常数.

Riemann 将 Euler 的 Zeta 函数 $\zeta (s):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^s}}$ 扩展定义到复平面 $\mathbb{C}$ 上. $s=1$ 是单极点. Riemann 注意到, 这个 zeta 函数在 $-2,-4,-6,\dots$ 处有平凡零点. Riemann 计算了一些非平凡零点, 都位于直线 $\mathrm{Re}(s)=\frac{1}{2}$ 上. Riemann hypothesis 就是断言: 所有非平凡零点都在此直线上.

设 $s$ 是实部大于 1 的复变量. 定义 Riemann zeta 函数为
$$\zeta (s):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^s}},$$
容易证明这个级数是绝对收敛的. 事实上
$$|{\displaystyle \frac{1}{n^s}}|={\displaystyle \frac{1}{|n^s|}}={\displaystyle \frac{1}{n^{\mathrm{\Re }(s)}}}.$$
这里要指出的是, 一般 $n^s$ 认为是一个多值函数, 我们取其中一个分支.
$$n^s=e^{s\mathrm{Log}n}=e^{s(\log n+i(\arg n+2k\pi ))},$$

我们这里取 $k=0$.

Riemann 证明了这个复变函数可以通过解析延拓而成为 $\mathbb{C}$ 上的一个亚纯函数, 仅有一个单极点 $s=1$, 在该极点处的留数为 1. 并且满足下面的泛函方程
$${\pi }^{-\frac{s}{2}}\mathrm{\Gamma }({\displaystyle \frac{s}{2}})\zeta (s)={\pi }^{-\frac{1-s}{2}}\mathrm{\Gamma }({\displaystyle \frac{1-s}{2}})\zeta (1-s).$$

这里 $\mathrm{\Gamma }(s)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-t}{t}^s\cdot \frac{dt}{t}$ 是 Gamma 函数. 我们记

$$\hat{\zeta }(s)={\pi }^{-\frac{s}{2}}\mathrm{\Gamma }({\displaystyle \frac{s}{2}})\zeta (s).$$

于是有 $\hat{\zeta }(1-s)=\hat{\zeta }(s)$, $\mathrm{\forall }s\in \mathbb{C}$.

若 $s\in \mathbb{R}$ 且 $s>1$, 记 $x=s$, 则 $\zeta (s)=\zeta (x)$ 可用下面的公式计算

$$\zeta (x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{u^{x-1}}{e^u-1}du.$$

特别的, 当 $x=n$ 时, 可以推出 $\zeta (n)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{k^n}}$.

Weng Zeta 函数(by Lin Weng)在 $n=2$ 时是

$${\hat{\zeta }}_2(s)=\frac{\hat{\zeta }(2s)}{-2+2s}-\frac{\hat{\zeta }(-1+2s)}{2s}.$$

$$\begin{array}{rl}\zeta (1)& =\mathrm{\infty }\\ \zeta (2)& =\frac{{\pi }^2}{6}=1.644934066848226436472415166646\dots \\ \zeta (3)& =1.2020569032\dots \\ \zeta (4)& =\frac{{\pi }^4}{90}=1.0823232337111381915160036965412\dots \\ \zeta (5)& =1.0369277551\dots \\ \zeta (6)& =\frac{{\pi }^6}{945}=1.0173430619844491397145179297909\dots \\ \zeta (7)& =1.0083492774\dots \\ \zeta (8)& =\frac{{\pi }^8}{9450}=1.0040773561979443393786852385087\dots \\ \zeta (9)& =1.0020083928\dots \\ \zeta (10)& =\frac{{\pi }^{10}}{93555}=1.0009945751278180853371459589003\dots \end{array}$$

References:

http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html

Riemann zeta 函数最初是由 Euler 提出并研究.  zeta 函数 $\zeta (s)$ 定义为

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s},s\in \mathbb{R},$$

当 $s>1$ 时级数收敛. 他发现这个函数与素数有着很深的联系, 

$$\zeta (s)=\prod _{p\in \mathrm{PRIMES}}\frac{1}{1-p^{-s}}.$$

由于它与素数的分布有关, 因此是数论中一个非常重要的函数. 这个函数在其他领域如物理, 概率论以及应用统计学中都有很多应用.

Riemann(德国著名的数学家 Bernhard Riemann) 将其扩展定义到整个复平面上, 除了单极点 $s=1$. 即 $\zeta (s)$ 可解析延拓到 $\mathbb{C}\setminus \{1\}$ 上. 这个 zeta 函数在 $-2,-4,-6,\dots$ 处有平凡零点. Riemann 计算了一些非平凡零点, 都位于直线 $\mathrm{Re}(s)=\frac{1}{2}$ 上. 黎曼假设(Riemann hypothesis)就是断言: 所有非平凡零点都在此直线上.

黎曼假设(Riemann hypothesis)是关于 Riemann zeta 函数的零点分布的一个猜想. 这是纯数学中到目前为止尚未解决的最重要的问题之一. 许多数学家都为此作出了不懈努力.

Conjecture (The Riemann Hypothesis)

All the zeros $\rho =\beta +i\gamma$ of $\zeta (s)$ in the critical strip have $\beta =\frac{1}{2}$.

黎曼猜想(黎曼假设)

Zeta 函数 $\zeta (s)$ 在 critical strip 中的所有零点 $\rho =\beta +i\gamma$ 都满足 $\beta =\frac{1}{2}$. 

$-2k$, $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 是其平凡零点, 黎曼猜想说的是 $\zeta (s)$ 的非平凡零点都位于直线 $x=\frac{1}{2}$ 上.

Riemann's paper served almost as a blueprint for research on the zeta-function for the next 45 years.

• Hadamard (1893) proved the product formula $\zeta (s)=\zeta (0)\prod _{\rho }(1-\frac{s}{\rho })$, and $N(T)\ll T\log T$.
• von Mangoldt (1895) proved the explicit formula for $\pi (x)$ and $\psi (x)$
  $$\psi (x)=\sum _{n⩽x}\mathrm{\Lambda }(x)=x-\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }+\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{x^{-2n}}{2n}-\frac{{\zeta }^{\prime }(0)}{\zeta (0)}.$$
• Hadamard and de la Vallée Poussin (1896) independently proved the PNT.

这里 $N(T)$ 是指满足 $0<\gamma ⩽T$ 的非平凡零点 $\rho =\beta +i\gamma$ 的数目. 黎曼证明了当 $T\to \mathrm{\infty }$ 时,

$$N(T)=\frac{T}{2\pi }\log \frac{T}{2\pi }-\frac{T}{2\pi }+O(\log T).$$

广义黎曼假设 (Grand Riemann Hypothesis, 简写为 GRH)

指用 Dirichlet $L$ 函数代替黎曼猜想中的 Riemann-Zeta 函数, 其他表述不变.

PNT 指 Prime Number Theorem

其他阅读材料

Riemann 猜想漫谈（by 卢昌海）

http://changhai.org/articles/science/mathematics/riemann_hypothesis/index.php

References:

原文: THE RIEMANN HYPOTHESIS
作者: ENRICO BOMBIERI