当 $x > 1$ 时, $\zeta(x)$ 有下面的公式(参见 问题1196)

\[
\zeta(x)=\frac{1}{\Gamma(x)}\int_0^{+\infty}\frac{u^{x-1}}{e^u -1}du.
\]

设计高效的计算方法来计算 $\zeta(x)$.

其中 $\zeta(2n)$ 有直接和 $\pi$ 相关的公式, 见 http://oeis.org/A002432

定义 $v(n)$ 如下:

\[
\begin{aligned}
v(1)&:=1,\\
v(n)&:=\hat{\zeta}(n)\cdot v(n-1).
\end{aligned}
\]

其中 $\hat{\zeta}(s):=\pi^{-s/2}\cdot\Gamma(\frac{s}{2})\cdot\zeta(s)$.

定义 $B(n,s)$ 如下:

\[
\begin{aligned}
B(0,s)&:=1,\quad\forall\ s,\\
B(n,s)&:=\sum_{m=1}^{n}\frac{v(m)\cdot B(n-m,-m)}{s-m}.\\
\end{aligned}
\]

求 $B(m,m-n)$ 的表达式, 这里 $m=1,2,\ldots,n$. 

例如

\[
B(1,1-n)=-\frac{1}{n}.
\]

Hurwitz zeta 函数

\[
\zeta(s,a):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+a)^s},\quad\mathrm{Re}s > 1,\ \text{且}\ \mathrm{Re}a > 0.
\]

这个函数可以扩充到整个复平面 $\mathbb{C}$ 上成为一个亚纯函数. 其 Laurent 展式为

\[
\zeta(s,a)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\gamma_n(a)(s-1)^n,
\]

其中 $\gamma_k(a)$ 是 Stieltjes 常数.

Riemann 将 Euler 的 Zeta 函数 $\zeta(s):=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^s}$ 扩展定义到复平面 $\mathbb{C}$ 上. $s=1$ 是单极点. Riemann 注意到, 这个 zeta 函数在 $-2,-4,-6,\ldots$ 处有平凡零点. Riemann 计算了一些非平凡零点, 都位于直线 $\mathrm{Re}(s)=\frac{1}{2}$ 上. Riemann hypothesis 就是断言: 所有非平凡零点都在此直线上.

设 $s$ 是实部大于 1 的复变量. 定义 Riemann zeta 函数为
\[
\zeta(s):=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^s},
\]
容易证明这个级数是绝对收敛的. 事实上
\[
\biggl|\dfrac{1}{n^s}\biggr|=\dfrac{1}{|n^s|}=\dfrac{1}{n^{\Re(s)}}.
\]
这里要指出的是, 一般 $n^s$ 认为是一个多值函数, 我们取其中一个分支.
\[n^s=e^{s\mathrm{Log}n}=e^{s(\log n+i(\mathrm{arg}n+2k\pi))},\]

我们这里取 $k=0$.

Riemann 证明了这个复变函数可以通过解析延拓而成为 $\mathbb{C}$ 上的一个亚纯函数, 仅有一个单极点 $s=1$, 在该极点处的留数为 1. 并且满足下面的泛函方程
\[
\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\Bigl(\dfrac{s}{2}\Bigr)\zeta(s)=\pi^{-\frac{1-s}{2}}\Gamma\Bigl(\dfrac{1-s}{2}\Bigr)\zeta(1-s).
\]

这里 $\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}e^{-t}t^s\cdot\frac{dt}{t}$ 是 Gamma 函数. 我们记

\[
\widehat{\zeta}(s)=\pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\Bigl(\dfrac{s}{2}\Bigr)\zeta(s).
\]

于是有 $\widehat{\zeta}(1-s)=\widehat{\zeta}(s)$, $\forall\ s\in\mathbb{C}$.

若 $s\in\mathbb{R}$ 且 $s > 1$, 记 $x=s$, 则 $\zeta(s)=\zeta(x)$ 可用下面的公式计算

\[
\zeta(x)=\frac{1}{\Gamma(x)}\int_0^{\infty}\frac{u^{x-1}}{e^u-1}du.
\]

特别的, 当 $x=n$ 时, 可以推出 $\zeta(n)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^n}$.

Weng Zeta 函数(by Lin Weng)在 $n=2$ 时是

\[
\hat{\zeta}_2(s)=\frac{\hat{\zeta}(2s)}{-2+2s}-\frac{\hat{\zeta}(-1+2s)}{2s}.
\]

\[
\begin{aligned}
\zeta(1)&=\infty\\
\zeta(2)&=\frac{\pi^2}{6}=1.644934066848226436472415166646\ldots\\
\zeta(3)&=1.2020569032\ldots\\
\zeta(4)&=\frac{\pi^4}{90}=1.0823232337111381915160036965412\ldots\\
\zeta(5)&=1.0369277551\ldots\\
\zeta(6)&=\frac{\pi^6}{945}=1.0173430619844491397145179297909\ldots\\
\zeta(7)&=1.0083492774\ldots\\
\zeta(8)&=\frac{\pi^8}{9450}=1.0040773561979443393786852385087\ldots\\
\zeta(9)&=1.0020083928\ldots\\
\zeta(10)&=\frac{\pi^{10}}{93555}=1.0009945751278180853371459589003\ldots\\
\end{aligned}
\]

References:

http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html

Riemann zeta 函数最初是由 Euler 提出并研究.  zeta 函数 $\zeta(s)$ 定义为

\[\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s},\quad s\in\mathbb{R},\]

当 $s>1$ 时级数收敛. 他发现这个函数与素数有着很深的联系, 

\[
\zeta(s)=\prod_{p\in\mathrm{PRIMES}}\frac{1}{1-p^{-s}}.
\]

由于它与素数的分布有关, 因此是数论中一个非常重要的函数. 这个函数在其他领域如物理, 概率论以及应用统计学中都有很多应用.

Riemann(德国著名的数学家 Bernhard Riemann) 将其扩展定义到整个复平面上, 除了单极点 $s=1$. 即 $\zeta(s)$ 可解析延拓到 $\mathbb{C}\setminus\{1\}$ 上. 这个 zeta 函数在 $-2,-4,-6,\ldots$ 处有平凡零点. Riemann 计算了一些非平凡零点, 都位于直线 $\mathrm{Re}(s)=\frac{1}{2}$ 上. 黎曼假设(Riemann hypothesis)就是断言: 所有非平凡零点都在此直线上.

黎曼假设(Riemann hypothesis)是关于 Riemann zeta 函数的零点分布的一个猜想. 这是纯数学中到目前为止尚未解决的最重要的问题之一. 许多数学家都为此作出了不懈努力.

Conjecture (The Riemann Hypothesis)

All the zeros $\rho=\beta+i\gamma$ of $\zeta(s)$ in the critical strip have $\beta=\frac{1}{2}$.

黎曼猜想(黎曼假设)

Zeta 函数 $\zeta(s)$ 在 critical strip 中的所有零点 $\rho=\beta+i\gamma$ 都满足 $\beta=\frac{1}{2}$. 

$-2k$, $k\in\mathbb{Z}^+$ 是其平凡零点, 黎曼猜想说的是 $\zeta(s)$ 的非平凡零点都位于直线 $x=\frac{1}{2}$ 上.

Riemann's paper served almost as a blueprint for research on the zeta-function for the next 45 years.

• Hadamard (1893) proved the product formula $\zeta(s)=\zeta(0)\prod_{\rho}(1-\frac{s}{\rho})$, and $N(T)\ll T\log T$.
• von Mangoldt (1895) proved the explicit formula for $\pi(x)$ and $\psi(x)$
  \[\psi(x)=\sum_{n\leqslant x}\Lambda(x)=x-\sum_{\rho}\frac{x^{\rho}}{\rho}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{-2n}}{2n}-\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} .\]
• Hadamard and de la Vallée Poussin (1896) independently proved the PNT.

这里 $N(T)$ 是指满足 $0 < \gamma\leqslant T$ 的非平凡零点 $\rho=\beta+i\gamma$ 的数目. 黎曼证明了当 $T\rightarrow\infty$ 时,

\[
N(T)=\frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{2\pi}-\frac{T}{2\pi}+O(\log T).
\]

广义黎曼假设 (Grand Riemann Hypothesis, 简写为 GRH)

指用 Dirichlet $L$ 函数代替黎曼猜想中的 Riemann-Zeta 函数, 其他表述不变.

PNT 指 Prime Number Theorem

其他阅读材料

Riemann 猜想漫谈（by 卢昌海）

http://changhai.org/articles/science/mathematics/riemann_hypothesis/index.php

References:

原文: THE RIEMANN HYPOTHESIS
作者: ENRICO BOMBIERI