求

\[\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\sqrt{x^2-x^4}dx.\]

设 $f(x)=\int_1^x\frac{\ln t}{1+t}dt$, 求 $f(x)+f(\frac{1}{x})$.

设 $u(t)$ 是 $[a,b]$ 上的连续的正函数, 证明下面的不等式

\[
\ln\Biggl|\frac{1}{b-a}\int_a^b u(t)dt\Biggr|\geqslant\frac{1}{b-a}\int_a^b\ln(u(t))dt.
\]

Hint:

利用 Jensen 不等式

(具体的, 令 $\varphi=\ln$, 只不过这里 $\varphi$ 是凹函数. 且令 $p(x)=1$.)

设 $f(x)\in C^2[a,b]$, $M=\max\limits_{x\in[a,b]}\{f''(x)\}$, 证明

\[
\biggl|\int_a^b f(x)\mathrm{d}x-(b-a)\cdot f(\frac{a+b}{2})\biggr|\leqslant\frac{M}{24}(b-a)^3.
\]

求下列曲线所围成图形按指定轴旋转所得旋转体的体积:

1. $y=\sin x$,  $x\in[0,\pi]$  与 $x$ 轴所围图形.

   (1) 绕 $x$ 轴旋转;
   (2) 绕 $y$ 轴旋转;
   (3) 绕直线 $y=1$ 旋转.

求定积分

\[\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}e^{-\sqrt{x}}dx\]

求 $\int_0^{\pi}(x\sin x)^2dx$

求定积分

\[\int_0^a x^2\sqrt{a^2-x^2}dx.\]

求定积分

\[\int_1^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^2}dx.\]

证明

\[\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x}{1+x^2}dx < \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1+x^2}dx.\]