验证

\[
\int_0^{+\infty}\frac{1}{x(e^x-1)}dx=+\infty
\]

是否正确?

注意这个积分与 zeta 函数相关.

设 $\sigma_n(x)=\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2x+\cdots+\cos nx$, 证明

\[
\sigma_n(x)=\frac{\sin\frac{2n+1}{2}x}{2\sin\frac{1}{2}x},\quad\forall\ x\neq 2k\pi.
\]

而当 $x=2k\pi$ 时, $\sigma_n(x)=\frac{1}{2}+n$.

曲线 $y=ax^2\ (0< a \leqslant 1)$ 将以 $(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$ 为顶点的正方形分成上、下两部分. 上半部分绕 $y$ 轴旋转所得体积为 $V_1$, 下半部分绕 $x$ 轴旋转, 所得体积为 $V_2$, 问 $a$ 为何值时, $V=V_1+V_2$ 最小.

计算有双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 与 $y=\pm b$ 所围成区域绕 $y$ 轴旋转所形成的旋转体的体积.

设 $f(t)$ 是 ${a,b}$ 上的连续单调递增函数, 证明

\[
\int_a^b tf(t)\mathrm{d}t\geqslant\frac{a+b}{2}\int_a^b f(t)\mathrm{d}t.
\]

Rem. 为便于搜索, 改写为下式. 在搜索页, 输入 xf(x) 即能搜到.  (2021-11-28)

\[
\int_a^b xf(x)\mathrm{d}x\geqslant\frac{a+b}{2}\int_a^b f(x)\mathrm{d}x.
\]

设 $f(x)=2-\int_0^1\frac{x+\sin t}{1+t^2}dt$, $p(x)=ax^2+bx+c$, 求常数 $a,b,c$, 使得

\[p(0)=f(0),\quad p'(0)=f'(0),\quad p''(0)=f''(0).\]

并判断 $f(x)$ 的奇偶性.

Remark:

关于 $\int_0^1\frac{\sin t}{1+t^2}dt$ 可以参见问题1407

设 $0\leqslant x\leqslant\frac{\pi}{2}$,

\[
f(x)=\int_0^{\sin^2 x}\arcsin\sqrt{t}dt+\int_0^{\cos^2 x}\arccos\sqrt{t}dt,
\]

求 $f(x)$.

设 $f\in C^1[a,b]$, 且 $f(a)=0$, 证明

\[
\int_a^b f^2(x)dx\leqslant\frac{(b-a)^2}{2}\int_a^b[f'(x)]^2dx.
\]

计算

\[
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x+\sqrt{1+x^2})\sin^7 xdx.
\]

Hint: 对于积分区间对称的定积分, 首先关注一下被积函数(或者其中一部分)是否是奇函数, 如果是, 就不需要计算了.

设 $f(x)\in C^2$, 且满足

\[\int_0^{\pi}(f(x)+f''(x))\sin xdx=3,\]

求 $f(0)$.