从 1,2,3,...,11 这十一个数中开出 5 个号码作为中奖号码.

任选 7 个号码, 猜中开奖的全部 5 个号码. 求中奖的概率多大?

分析:

如果每注只能任选 5 个号码, 那么显然中奖概率为 $1/C_{11}^{5}=1/462$.

现在每注是选 7 个号码, 因此有 $C_{11}^{7}=C_{11}^{4}=330$ 种可能.

购买一注, 也就是 7 个号码, 它包含了 $C_7^2=21$ 种 5 个号码的可能, 中奖概率为 $\frac{21}{462}=\frac{1}{22}$.

反过来思考, 比如开奖号码是 1,2,3,4,5.  那么可以中奖的集合为

\[
A=\bigl\{(1,2,3,4,5,x,y)\mid x,y\in\{6,7,8,9,10,11\}\bigr\}.
\]

因此 $\# A=C_6^2=15$, 即 330 种可能中只有 15 个能中奖, 中奖概率为 $\frac{15}{330}=\frac{1}{22}$.

如果选 $k$ 个号码, 那么中奖概率为

\[
p(k)=\frac{C_{6}^{k-5}}{C_{11}^{k}}.
\]

比如

\[
p(7)=\frac{1}{22},\quad p(8)=\frac{4}{33},\quad p(9)=\frac{3}{11},\quad p(10)=\frac{6}{11},\quad p(11)=1.
\]

总结:

中奖概率非常小. 

类似的可以考虑 双色球的中奖概率.

正 $n$ 边形中由其顶点可构成多少个三角形?

如果要求所构成的三角形中, 没有哪条边属于此正 $n$ 边形的边, 问这样的三角形有多少个?

在由 $n$ 个字符组成的字母表中, 问长度小于等于 $n$ 的单词总数最多有多少?

也称 rucksack problem.