问题及解答

解方程

$$\frac{dy}{dx}=P_0(x)+P_1(x)y+P_2(x)y^2.$$

如果 $P_0(x)\equiv 0$, 则方程是 Bernoulli 方程. 

一般的, 可以通过变量替换, 使方程化为 Bernoulli 方程.

令 $z(x)=y(x)-\lambda$, 则 $y=z+\lambda$, $\frac{dz}{dx}=\frac{dy}{dx}$. 原方程化为

$$\begin{array}{rl}\frac{dz}{dx}& =P_0(x)+P_1(x)(z+\lambda )+P_2(x)(z+\lambda {)}^2\\ & =[P_0(x)+P_1(x)\lambda +P_2(x){\lambda }^2]+(P_1(x)+2\lambda P_2(x))z+P_2(x)z^2\end{array}$$

令 $P_0(x)+P_1(x)\lambda +P_2(x){\lambda }^2=0$, 求出 $\lambda$, 则原方程在变换 $z=y-\lambda$ 下化为 Bernoulli 方程.