一维简谐振子的定态薛定谔方程
\[
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}x^2}+\frac{1}{2}m\omega^2 x^2\varphi=E\varphi
\]
若令
\[
\xi=ax,\qquad a=\sqrt{m\omega/\hbar},
\]
则上面的薛定谔方程可改写为无量纲形式
\[
-\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}\xi^2}+\xi^2\varphi=\frac{2E}{\hbar\omega}\varphi
\]
参见[1] P.170
References:
[1] 王正行 编著 《近代物理学》 北京大学出版社
1
由于 $\xi=ax$, 故 $\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}x}=a$. 于是
\[
\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\xi}\cdot\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\xi}\cdot a,
\]
即
\[
\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\xi}=\frac{1}{a}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}.
\]
\[
\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}x^2}=a\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\xi})=a\cdot\frac{\mathrm{d^2}\varphi}{\mathrm{d}\xi^2}\cdot\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}x}=a^2\cdot\frac{\mathrm{d^2}\varphi}{\mathrm{d}\xi^2}
\]
代入到上面的薛定谔方程中,
\[
-\frac{\hbar^2}{2m}\cdot a^2\cdot\frac{\mathrm{d^2}\varphi}{\mathrm{d}\xi^2}+\frac{1}{2}m\omega^2\cdot\frac{\xi^2}{a^2}\varphi=E\varphi
\]
将 $a^2=m\omega/\hbar$ 代入, 得
\[
\begin{split}
&-\frac{\hbar^2}{2m}\cdot\frac{m\omega}{\hbar}\cdot\frac{\mathrm{d^2}\varphi}{\mathrm{d}\xi^2}+\frac{1}{2}m\omega^2\cdot\frac{\xi^2}{m\omega/\hbar}\varphi=E\varphi\\
\Rightarrow\ &-\frac{\omega\hbar}{2}\frac{\mathrm{d^2}\varphi}{\mathrm{d}\xi^2}+\frac{1}{2}\omega\hbar\xi^2\varphi=E\varphi\\
\Rightarrow\ &-\frac{\mathrm{d^2}\varphi}{\mathrm{d}\xi^2}+\xi^2\varphi=\frac{2E\varphi}{\omega\hbar}.
\end{split}
\]