问题及解答

利用极限存在准则证明下列极限.

(1)   $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n!}{n^n}=0$.

(2)   $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\Bigl(1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}\Bigr)$ 存在.

(1)

令 $a_n=\dfrac{n!}{n^n}$, 则

\[
\frac{a_n}{a_{n+1}}=\dfrac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}=\frac{n!}{(n+1)!}\cdot\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}=(1+\frac{1}{n})^n > 1.\tag{*}
\]

于是 $a_n > a_{n+1}$, 又 $a_n > 0$, 故 $\{a_n\}$ 是严格单调递减数列, 且有下界. 因此有极限. 记 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=A$. 

由上面的 $(*)$, 知 $a_n=(1+\frac{1}{n})^n a_{n+1}$, 两边取极限

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\bigl[(1+\frac{1}{n})^n a_{n+1}\bigr]=\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n\cdot\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}
\]

得 $A=eA$, 这推出 $A=0$. 即

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n!}{n^n}=0.
\]

(法二)

\[
0<\frac{n!}{n^n}\leqslant \frac{1}{n},\quad\forall\ n\in\mathbb{Z}^+,
\]

由夹逼原理, 即得 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n!}{n^n}=0$.

（法三）

使用 Cauchy 收敛法则.  令 $a_n=\dfrac{n!}{n^n}$.

$\forall\varepsilon>0$, $\exists N=\Bigl[\frac{1}{\varepsilon}\Bigr]+1$, 当 $n,m>N$ 时, (这里 $m=n+p > n$)

\[
\begin{split}
|a_n-a_m|&=\Biggl|\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdots+\frac{1}{(n+p)^2}\Biggr|\\
& < \Biggl|\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots+\frac{1}{(n+p-1)(n+p)}\Biggr|\\
&=\Biggl|(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})+(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})+\cdots+(\frac{1}{n+p-1}-\frac{1}{n+p})\Biggr|\\
&=\Biggl|\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}\Biggr|\\
& < \frac{1}{n} <\frac{1}{N} <\varepsilon.
\end{split}
\]

故序列 $\{a_n\}$ 是 Cauchy 收敛的, 从而收敛.

(2)

令 $a_n=1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}$, 显然 $a_n < a_{n+1}$. 另一方面

\[
\begin{split}
a_n&=1+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i^2} < 1+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i(i-1)}=1+\sum_{i=2}^{n}(\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i})\\
&=1+(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})\\
&=2-\frac{1}{n}\\
&< 2.
\end{split}
\]

即 $\{a_n\}$ 是严格单调递增的数列, 且有上界 $2$. 因此必有极限.  故 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n$ 存在.