问题及解答

利用极限存在准则证明下列极限.

(1)   $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{n!}{n^n}}=0$.

(2)   $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+{\displaystyle \frac{1}{2^2}}+{\displaystyle \frac{1}{3^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n^2}})$ 存在.

(1)

令 $a_n={\displaystyle \frac{n!}{n^n}}$, 则

$$\begin{array}{}\text{(*)}& \frac{a_n}{a_{n+1}}={\displaystyle \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1{)}^{n+1}}}}=\frac{n!}{(n+1)!}\cdot \frac{(n+1{)}^{n+1}}{n^n}=(1+\frac{1}{n}{)}^n>1.\end{array}$$

于是 $a_n>a_{n+1}$, 又 $a_n>0$, 故 $\{a_n\}$ 是严格单调递减数列, 且有下界. 因此有极限. 记 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$. 

由上面的 $(\ast )$, 知 $a_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n{a}_{n+1}$, 两边取极限

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[(1+\frac{1}{n}{)}^n{a}_{n+1}]=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n\cdot \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_{n+1}$$

得 $A=eA$, 这推出 $A=0$. 即

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{n!}{n^n}}=0.$$

(法二)

$$0<\frac{n!}{n^n}⩽\frac{1}{n},\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}^{+},$$

由夹逼原理, 即得 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{n!}{n^n}}=0$.

（法三）

使用 Cauchy 收敛法则.  令 $a_n={\displaystyle \frac{n!}{n^n}}$.

$\mathrm{\forall }\epsilon >0$, $\mathrm{\exists }N=[\frac{1}{\epsilon }]+1$, 当 $n,m>N$ 时, (这里 $m=n+p>n$)

$$\begin{array}{rl}|a_n-a_m|& =|\frac{1}{(n+1{)}^2}+\frac{1}{(n+2{)}^2}+\cdots +\frac{1}{(n+p{)}^2}|\\ & <|\frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots +\frac{1}{(n+p-1)(n+p)}|\\ & =|(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})+(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})+\cdots +(\frac{1}{n+p-1}-\frac{1}{n+p})|\\ & =|\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}|\\ & <\frac{1}{n}<\frac{1}{N}<\epsilon .\end{array}$$

故序列 $\{a_n\}$ 是 Cauchy 收敛的, 从而收敛.

(2)

令 $a_n=1+{\displaystyle \frac{1}{2^2}}+{\displaystyle \frac{1}{3^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n^2}}$, 显然 $a_n<a_{n+1}$. 另一方面

$$\begin{array}{rl}{a}_n& =1+\sum _{i=2}^n\frac{1}{i^2}<1+\sum _{i=2}^n\frac{1}{i(i-1)}=1+\sum _{i=2}^n(\frac{1}{i-1}-\frac{1}{i})\\ & =1+(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots +(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})\\ & =2-\frac{1}{n}\\ & <2.\end{array}$$

即 $\{a_n\}$ 是严格单调递增的数列, 且有上界 $2$. 因此必有极限.  故 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ 存在.