问题及解答

定义(一致等度连续(uniformly equicontinuous))

设 $\{f_n\}$ 是定义在区间 $I$ 上的一列函数. 若对任意的 $\varepsilon > 0$, 存在(不依赖于 $n$) $\delta > 0$, 使对所有 $n\in\mathbb{N}$, 只要区间 $I$ 中的两点 $x_1,x_2$ 相差小于 $\delta$, 就有 $|f_n(x_1)-f_n(x_2)| < \varepsilon$, 我们就称函数族 $\{f_n\}$ 在 $I$ 上是一致等度连续的.

使用符号表示:

$\forall\varepsilon > 0$, $\exists\delta(\varepsilon) > 0$, $\forall\ n\in\mathbb{N}$, s.t., $|x_1-x_2|<\delta$, $x_1,x_2\in I$  $\Rightarrow$ $|f_n(x_1)-f_n(x_2)| < \varepsilon$.

而一致连续是针对单个函数的概念, 如果说这列函数在 $I$ 上是一致连续的, 是指每个函数在 $I$ 上一致连续. 即

$\forall\varepsilon > 0$, $\forall n\in\mathbb{N}$, $\exists\delta(\varepsilon,n)>0$,  s.t., $|x_1-x_2|<\delta$, $x_1,x_2\in I$  $\Rightarrow$ $|f_n(x_1)-f_n(x_2)| < \varepsilon$.

因此, 函数族 $\{f_n\}$ 在 $I$ 上一致等度连续要比它们在 $I$ 上一致连续来得强.

例. 黎曼流形 $(M,g)$ 上可以构造一致等度连续的函数簇. 见问题3534.

参考文献

[1] continuity - What's the difference between uniformly equicontinuous and uniformly continuous? - Mathematics Stack Exchange