问题

(下面是黎曼流形上满足一致等度连续的函数簇例子, 通过距离函数构造. 参见[1])

设 $(M,g)$ 是一完备黎曼流形, 对于 $M$ 上的射线 $\gamma$（指定义区间是 $[0,\infty)$ 的测地线, 即 $\gamma: [0,\infty)\rightarrow M$）,  对每个固定的 $t\geqslant 0$, 赋予一个函数 $g_{\gamma(t)}:\ M\rightarrow\mathbb{R}$,

\[
g_{\gamma(t)}(x):=\overline{x,\gamma(t)}-t.
\]

这里 $\overline{x,\gamma(t)}$ 指 $M$ 上点 $x$ 到 $\gamma(t)$ 的距离, 也可记作 $\mathrm{dist}(x,\gamma(t))$. 我们知道黎曼流形 $M$ 上的距离函数是连续函数, 但在 $\gamma(t)$ 的割迹上不可微.

由三角不等式可以证明函数簇 $\{g_{\gamma(t)}\}_{t\geqslant 0}$ 在 $[0,\infty)$ 上是一致等度连续的.

对于固定的 $x\in M$, 函数 $t\mapsto g_{\gamma(t)}(x)$ 在 $[0,\infty)$ 上是递减的, 且有下界 $-\overline{x,\gamma(0)}$. 因此, 当 $t\rightarrow\infty$ 时, $g_{\gamma(t)}$ 在紧集上一致收敛到一个连续函数, 记为 $g_{\gamma}$. 

由上, 对于 $M$ 上每条射线 $\gamma$, 我们都可赋予其这样的一个函数 $g_{\gamma}$.

参考文献

[1] J. Cheeger, D. Gromoll, The splitting theorem for manifolds of nonnegative Ricci curvature. J. Differential Geometry, 6(1971), 119-128.