问题及解答

(下面是黎曼流形上满足一致等度连续的函数簇例子, 通过距离函数构造. 参见[1])

设 $(M,g)$ 是一完备黎曼流形, 对于 $M$ 上的射线 $\gamma$（指定义区间是 $[0,\infty)$ 的测地线, 即 $\gamma: [0,\infty)\rightarrow M$）,  对每个固定的 $t\geqslant 0$, 赋予一个函数 $g_{\gamma(t)}:\ M\rightarrow\mathbb{R}$,

\[
g_{\gamma(t)}(x):=\overline{x,\gamma(t)}-t.
\]

这里 $\overline{x,\gamma(t)}$ 指 $M$ 上点 $x$ 到 $\gamma(t)$ 的距离, 也可记作 $\mathrm{dist}(x,\gamma(t))$. 我们知道黎曼流形 $M$ 上的距离函数是连续函数, 但在 $\gamma(t)$ 的割迹上不可微.

由三角不等式可以证明函数簇 $\{g_{\gamma(t)}\}_{t\geqslant 0}$ 在 $[0,\infty)$ 上是一致等度连续的.

对于固定的 $x\in M$, 函数 $t\mapsto g_{\gamma(t)}(x)$ 在 $[0,\infty)$ 上是递减的, 且有下界 $-\overline{x,\gamma(0)}$. 因此, 当 $t\rightarrow\infty$ 时, $g_{\gamma(t)}$ 在紧集上一致收敛到一个连续函数, 记为 $g_{\gamma}$. 

由上, 对于 $M$ 上每条射线 $\gamma$, 我们都可赋予其这样的一个函数 $g_{\gamma}$.

参考文献

[1] J. Cheeger, D. Gromoll, The splitting theorem for manifolds of nonnegative Ricci curvature. J. Differential Geometry, 6(1971), 119-128.

(1) 证明: $\forall\varepsilon > 0$, 存在 $\delta=\varepsilon$, 对任意 $t_n > 0$, 只要 $x_1,x_2\in M$ 满足 $\overline{x_1,x_2} < \delta$, 就有

\[
\begin{split}
|g_{\gamma(t_n)}(x_1)-g_{\gamma(t_n)}(x_2)|&=\Bigl|\bigl(\overline{x_1,\gamma(t_n)}-t_n\bigr)-\bigl(\overline{x_2,\gamma(t_n)}-t_n\bigr)\Bigr|\\
&=\Bigl|\overline{x_1,\gamma(t_n)}-\overline{x_2,\gamma(t_n)}\Bigr|\\
&\leqslant\overline{x_1,x_2} <\delta=\varepsilon.
\end{split}
\]

因此, 函数簇 $\{g_{\gamma(t_n)}\}$ 是一致等度连续的. QED.

(2) 证明: 对于固定的 $x\in M$, 函数 $t\mapsto g_{\gamma(t)}(x)$ 是严格单调递减的.

Pf. 任取 $0 < t_1 < t_2$, 要证 $g_{\gamma(t_2)}(x) < g_{\gamma(t_1)}(x)$, 即等价于

\[
\begin{aligned}
\Leftrightarrow\ &\overline{x,\gamma(t_2)-t_2} < \overline{x,\gamma(t_1)-t_1}\\
\Leftrightarrow\ &\overline{x,\gamma(t_2)}-\overline{x,\gamma(t_1)} < t_2-t_1=\overline{\gamma(t_2),\gamma(t_1)},
\end{aligned}
\]

而这由三角不等式保证. QED.

(3)  证明函数 $t\mapsto g_{\gamma(t)}(x)$ 有下界 $-\overline{x,\gamma(0)}$.

Pf. 要证 $g_{\gamma(t)}(x) \geqslant -\overline{x,\gamma(0)}$ 对任意 $t > 0$ 成立. 等价于证明

\[
\begin{aligned}
& \overline{x,\gamma(t)}-t \geqslant -\overline{x,\gamma(0)}\\
\Leftrightarrow\ &\overline{x,\gamma(t)}+\overline{x,\gamma(0)} \geqslant t=\overline{\gamma(0),\gamma(t)},
\end{aligned}
\]

而这是成立的, 因为 $\gamma$ 是 $M$ 上的测地线. QED.