问题

(i) 设 $A\in M(n,\mathbb{R})$, 证明级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}$ 是绝对收敛的. 我们一般记为 $e^A$. 证明 $\|e^A\|\leqslant e^{\|A\|}$.

(ii) 证明, 若 $AB=BA$, 则有 $e^{A+B}=e^A e^B=e^B e^A$. 从而有 $(e^A)^{-1}=e^{-A}$, 也即 $e^A\in GL(n,\mathbb{R})$.

更一般的, 当 $[A,B]=\lambda I_n$ 时, $e^A e^B=e^B e^A e^{[A,B]}$. 详见问题881.

(iii) 证明: $e^{(\cdot)}:\ M(n,\mathbb{R})\rightarrow GL(n,\mathbb{R})$ 是解析的.

(iv) 利用隐函数定理证明映射 $A\mapsto e^A$ 在零矩阵附近有惟一的逆. 将此逆映射记为 $A\mapsto\log A$, 并注意到 $\log I_n=0$.

(v) 证明: 若 $\|I_n -A\| < 1$, 则函数 $\log A$ 由下面的绝对收敛级数给出:
\[
\log A=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(A-I_n)^n.
\]

(vi) 若 $\|I_n -A\| < 1$, $\|I_n -B\| < 1$, 并且 $AB=BA$, 证明
\[
\log (AB)=\log A+\log B,
\]
特别的, $\log A^{-1}=-\log A$.

更一般的, 我们有下面的结论

Claim1. 对每个实 $n$ 阶方阵 $A$, 若 $A$ 的特征值均是正的, 则 $A$ 有实的对数矩阵 $\log A$. 即存在实矩阵 $X$, s.t. $e^X=A$. 进一步的, 若 $X$ 的特征值 $\xi$ 满足 $-\pi < Im(\xi) < \pi$, 则 $X$ 是惟一的.

Claim2. 在相同条件下, $A$ 有一个实的平方根, 即存在实矩阵 $X$, s.t. $X^2=A$. 并且, 若 $X$ 的特征值 $\lambda=\rho e^{i\theta}$ 满足 $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$, 则 $X$ 是惟一的.