问题

证明: $\pi_k(S^1,p)=0$, 对任意 $k > 1$.

[hint] 由于覆盖空间的同伦群与底空间的同伦群是同构的(见问题1900), 因此可以考虑 $\pi_k(\mathbb{R},x_0)$.

更一般的, 如果 $X$ 的覆盖空间是可缩的, 则有 $\pi_k(X,x_0)=0$, 对任意 $k > 1$. 例如, 当 $X$ 是亏格大于 0 的黎曼曲面时, 其第 $k (>1)$ 同伦群为 0.

References:

Michael Hutchings, Introduction to higher homotopy groups and obstruction theory.