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Questions in category: 定积分 (Definite Integral).

计算积分 $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}\mathrm{d}x$.

Posted by haifeng on 2024-11-25 23:26:59 last update 2024-11-25 23:26:59 | Answers (2) | 收藏


设 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数, 证明

\[
\int_{0}^{\pi}xf(\sin x)\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(\sin x)\mathrm{d}x\ .
\]

利用这个等式计算积分 $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{1+\cos^2 x}\mathrm{d}x$.