问题

证明: Dirichlet 函数在 [0,1] 上不是 Riemann 可积的.

Dirichlet 函数的定义如下:

\[
D(x)=\begin{cases}
1, & x\in\mathbb{Q},\\
0, & x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}.
\end{cases}
\]

有时简记 $\mathbb{Q}^c$ 为 $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$, 即无理数集.

Dirichlet 函数即为有理数集在实数集上的特征函数(indicator function).