问题及解答

证明: Dirichlet 函数在 [0,1] 上不是 Riemann 可积的.

Dirichlet 函数的定义如下:

\[
D(x)=\begin{cases}
1, & x\in\mathbb{Q},\\
0, & x\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}.
\end{cases}
\]

有时简记 $\mathbb{Q}^c$ 为 $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$, 即无理数集.

Dirichlet 函数即为有理数集在实数集上的特征函数(indicator function).

Pf. 任取 $[0,1]$ 的分割 $\pi:\ a=x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n=b$, 在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 中既有有理数又有无理数, 因此 $D(x)$ 在 $[0,1]$ 上的 Riemann 和 

\[
\sum_{i=1}^{n}D(\xi_i)\Delta x_i
\]

在所有 $\xi_i$ 为有理数时, 取值 $\sum\limits_{i=1}^{n}\Delta x_i=1$, 在所有 $\xi_i$ 为无理数时取值 $0$. 故 $D(x)$ 在 $[0,1]$ 上不是 Riemann 可积的.

注: 这里 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$.