问题

李群 $G$ 对于其中的李子群 $H$, 当然也可以作陪集 $G/H$. 下面的定理说明陪集实际上是一个流形.

Theorem 2.10

(1) 设 $G$ 是 $n$ 维李群, $H\subset G$ 是 $k$ 维李子群. 则陪集 $G/H$ 上可赋予一个自然的微分结构, 使之成为 $n-k$ 维流形, 并使得典范映射

\[p:\ G\rightarrow G/H\]

是纤维丛, 其纤维微分同胚于 $H$. 在 $\bar{1}=p(1)$ 处的切空间为

\[T_{\bar{1}}(G/H)=T_1 G/T_1 H.\]

(2) 若 $H$ 是正规李子群, 则 $G/H$ 具有典范结构而成为李群.

Corollary 2.11.

(1) 若 $H$ 是连通李子群, 则 $G$ 的连通分支个数等于 $G/H$ 的连通分支个数, 即 $\pi_0(G)=\pi_0(G/H)$. 特别的, 若 $H$, $G/H$ 都是连通的, 则 $G$ 也是连通的.

(2) 若 $G, H$ 都连通, 则存在下面的群正合序列

\[\pi_2(G/H)\rightarrow\pi_1(H)\rightarrow\pi_1(G)\rightarrow\pi_1(G/H)\rightarrow\{1\}\]

Remark:

这个推论是由更一般的关于任意纤维丛同伦群的长正合序列导出的.