问题

首先是考虑 $S^3\rightarrow S^2$ 上一个映射. 纤维化是一个非常特殊的映射, 它将底空间 $S^2$ 和纤维 $S^1$ 结合成 $S^3$, 称为 fibration 的全空间.

[Def1] 利用 $\bar{\mathbb{C}}$ (黎曼球面)

\[
\begin{array}{rcl}
f:\ S^3&\rightarrow & S^2=\bar{\mathbb{C}}\\
(z_1,z_2)&\mapsto &\frac{z_2}{z_1}
\end{array}
\]

这里 $\frac{z_2}{0}=\infty$. 任取 $q\in\mathbb{H}$. 计算 $q^{-1}pq$, 这样定义了一个映射

\[
\begin{array}{rcl}
R_q:\ \mathbb{R}^3 &\rightarrow &\mathbb{R}^3\\
p &\mapsto & q^{-1}pq
\end{array}
\]

我们有

Claim: (1) $q^{-1}pq$ 也是纯四元数.

(2) $R_q$ 是线性的. 即有

\[
\begin{aligned}
R_q(\lambda p)&=\lambda R_q(p),\quad\forall\ \lambda\in\mathbb{R}\\
R_q(p+p')&=R_q(p)+R_q(p')
\end{aligned}
\]

(3) $R_q=R_{\lambda q}$, $\forall\ \lambda\in\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}$

因此, 只要考虑 $R_q$, 其中 $|q|=1$

(4) $|R_q(p)|=|p|$

[Def2] 利用 $\mathbb{H}$ (四元数体)

设 $p=xi+yj+zk$, 这是一个纯四元数(pure quaternion)

一般的,令

\[S^{2n+1}=\{(z_0,\ldots,z_n)\in\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}\ :\ |z_0|^2+|z_1|^2+\cdots+|z_n|^2=1\}.\]

群 $S^1$ 以下面的方式作用在 $S^{2n+1}$ 上,

\[
\begin{array}{rcl}
S^1\times S^{2n+1}&\rightarrow&S^{2n+1}\\
(e^{i\theta},\ (z_0,\ldots,z_n))&\mapsto&(e^{i\theta}z_0,\ldots,e^{i\theta}z_n)
\end{array}
\]

证明这个作用是自由的, 且所有轨道的集合为 $S^{2n+1}/S^1\cong\mathbb{C}P^n$.

注: 称 $S^{2n+1}$ 中的点 $(z_0,z_1,z_2,\ldots,z_n)$ 和 $(w_0,w_1,w_2,\ldots,w_n)$ 是等价的, 如果存在 $\lambda=e^{i\theta}\in S^1$, 使得 $w_i=\lambda z_i$, $\forall\ i=0,1,2,\ldots,n$.  记作 $(z_0,z_1,z_2,\ldots,z_n)\sim(w_0,w_1,w_2,\ldots,w_n)$, 等价类记为 $[z_0,z_1,z_2,\ldots,z_n]$. 

于是

\[
S^{2n+1}/S^1=\{[z_0,z_1,z_2,\ldots,z_n]\}\cong\mathbb{C}P^n=P_n\mathbb{C}.
\]