定义在拟凸集上的局部 Lipschitz 函数是整体 Lipschitz 的.
引理. 若 $A\subset\mathbb{R}^n$ 是 $C$-拟凸的, 且 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$ 是局部 $L$-Lipschitz 的, 则 $f$ 是 $CL$-Lipschitz 的.
[Def]集合 $A\subset\mathbb{R}^n$ 称为 $C$-拟凸的(quasiconvex), 如果 $A$ 中任两点 $a,b$ 可被 $A$ 中一条曲线 $\gamma$ 连接, 使得
\[
\text{length}(\gamma)\leqslant C|a-b|,
\]
其中 $C\geqslant 1$ 是固定的常数. 此时我们也称 $A$ 是拟凸的(quasiconvex).
Hint: 任取 $A$ 中两点 $x,y$, 由于 $A$ 是 $C$-拟凸的, 故存在 $A$ 中一条曲线 $\gamma$ 连接这两点. 然后利用曲线的紧致性即可证明.