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局部 1-Lipschitz, 但非整体 Lipschitz 函数的例子.

Posted by haifeng on 2012-12-09 15:28:57 last update 2012-12-09 16:13:12 | Answers (1) | 收藏


考虑(以极坐标表示的)带缝平面(slip plane):
\[
A:=\{(r,\theta)\ :\ 0<r<\infty,\ -\pi<\theta<\pi\}\subset\mathbb{R}^2
\]
函数
\[
(r,\theta)\mapsto(r,\theta/2),\quad A\rightarrow\mathbb{R}^2,
\]
是局部 1-Lipschitz 的, 但不是整体 Lipschitz 的(按照 $\mathbb{R}^n$ 中的距离).

这个例子展示了问题970中拟凸条件与距离的相关性.