一维简谐振子的定态薛定谔方程

\[
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}x^2}+\frac{1}{2}m\omega^2 x^2\varphi=E\varphi
\]

若令

\[
\xi=ax,\qquad a=\sqrt{m\omega/\hbar},
\]

则上面的薛定谔方程可改写为无量纲形式

\[
-\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}\xi^2}+\xi^2\varphi=\frac{2E}{\hbar\omega}\varphi
\]

参见[1] P.170

References:

[1] 王正行  编著 《近代物理学》 北京大学出版社

Maxwell方程与光速

Maxwell方程(见问题1233)

参考 Maxwell's equations and the speed of light [1]

References:

[1] https://readingfeynman.org/2015/09/17/maxwells-equations-and-the-speed-of-light/

一维弹性碰撞问题

光滑水平面上有两个弹性小方块, $A$ 和 $B$. 左侧有堵墙. 这两个小方块的质量分别为 $m$, $M$, 单位: $\mathrm{kg}$. $A$ 的初速为0. $B$ 初速度为 $v$, 方向向左, 向 $A$ 撞去. （这里不考虑摩檫力, 小方块 $A$ 被墙反弹后, 能量不损失. 不考虑撞墙刹那的速度变化过程, 如果碰撞前速度为 $u$, 则碰撞后速度为 $-u$.）

如果 $m=M=1\mathrm{kg}$, 则小方块 $A$ 共碰撞 3 次.

如果 $m=1\mathrm{kg}$, $M=100\mathrm{kg}$, 则小方块 $A$ 共碰撞 31 次.

如果 $m=1\mathrm{kg}$, $M=10000\mathrm{kg}$, 则小方块 $A$ 共碰撞 314 次.

如果 $m=1\mathrm{kg}$, $M=1000000\mathrm{kg}$, 则小方块 $A$ 共碰撞 3141 次.

如果 $m=1\mathrm{kg}$, $M=100000000\mathrm{kg}$, 则小方块 $A$ 共碰撞 31415 次.

$\vdots$

我们看到碰撞次数与 $\pi=3.1415926\cdots$ 有关.

请问背后的原理是什么?

Remark:

小方块 $A$ 与 $B$ 和墙的碰撞都计算在内.

问题来源: 转发自 Q. X. Dong

$\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$ 中的 Maxwell 方程组

变化的磁场能够产生涡旋电场, 变化的电场也可以产生磁场. 麦克斯韦(Maxwell)通过分析和研究, 提出位移电流的假设, 将电磁场的基本规律概括为一组完整的方程式(共20个方程, 20 个变量), 1890年, 德国物理学家赫兹 (Hertz, 1857-1894) 把这组方程写成了简化的对称形式, 它们由 4 个对称方程组成.

它们的积分形式是

\[
\begin{cases}
\oint_s\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q,\\
\oint_L\mathbf{E}\cdot d\ell=-\int_s\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S},\\
\oint_s\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0,\\
\oint_L\mathbf{B}\cdot d\ell=\mu_0\sum I+\mu_0\varepsilon_0\int_s\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}.\\
\end{cases}
\]

对应的微分形式是

\[
\begin{cases}
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\\
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},\\
\nabla\cdot\mathbf{B}=0,\\
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
\end{cases}
\]

References:

何克明 等编 《大学物理学》， 浙江大学出版社.

Remark: 从非交换规范群(non-abelian gauge group)的角度, Yang-Mills 方程是 Maxwell 方程的推广.