问题及解答

\[
\int_0^1 (1-x^2)^8 dx
\]

一般的, 证明积分

\[
\int_0^1 (1-x^2)^n dx=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}
\]

除了这里利用递推关系求出, 还可以应用积分余项. 请参考梅加强著《数学分析》例5.7.1

令 $x=\sin t$, $t\in[0,\frac{\pi}{2}]$. 则原式为

\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin^2 t)^8 d\sin t=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos^2 t)^8 \cos t dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{17}t dt.
\]

根据问题43 , 得

\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{17}t dt=\frac{16!!}{17!!}.
\]