问题及解答

$${\int }_0^1(1-x^2{)}^{8}dx$$

一般的, 证明积分

$${\int }_0^1(1-x^2{)}^{n}dx=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$$

除了这里利用递推关系求出, 还可以应用积分余项. 请参考梅加强著《数学分析》例5.7.1

令 $x=\sin t$, $t\in [0,\frac{\pi }{2}]$. 则原式为

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1-{\sin }^{2}t{)}^{8}d\sin t={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\cos }^{2}t{)}^8\cos tdt={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{17}tdt.$$

根据问题43 , 得

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{17}tdt=\frac{16!!}{17!!}.$$