问题及解答

一个数 $n$, 如果对所有的基 $a$ (满足 $(a,n)=1$), 都有

\[
a^{n-1}\equiv 1\pmod n
\]

则称 $n$ 为 Carmichael 数.

性质: Carmichael 数一定是伪素数, 伪素数不一定是 Carmichael 数.

比如 341 是伪素数, 但 341 不是 Carmichael 数. 事实上方程 $x^{341-1}\equiv 1\pmod{341}$ 有很多解. (参见问题2306)

相关条目:  伪素数

Thm. (Carmichael数的判别法) 设 $n$ 为合数, 则 $n$ 是 Carmichael 数当且仅当 $n$ 是奇数且对整除 $n$ 的每个素数 $p$, 满足

• $p^2\not\mid n$
• $p-1\mid n-1$