问题及解答

THE ARITHMETIC-GEOMETRIC MEAN AND FAST COMPUTATION OF ELEMENTARY FUNCTIONS

J.M.BORWEIN  AND  P.B.BORWEIN

文章发表在 SIAM Review, Vol. 26, No. 3, July 1984.

首先 $(m,n)=(1,1)$ 是一个解. 下设 $m$, $n$ 均大于 1.

\[
\begin{split}
&5^m=5-3+3^n\\
\Rightarrow\ &5^m-5=3^n-3\\
\Rightarrow\ &5(5^{m-1}-1)=3(3^{n-1}-1).
\end{split}
\]

由于 $m > 1$, 故 $5^{m-1}-1\geqslant 4$, 故 $3|(5^{m-1}-1)$. 同理, $5|(3^{n-1}-1)$.