问题及解答

对于任意拓扑空间 $X,Y$ 及它们各自的任意闭子空间 $A,B$, 在 $(X,A)$ 到 $(Y,B)$ 的所有连续映射组成的空间中, 相对同伦是一个等价关系.

(1) 首先相对同伦这个关系是自反的, 因为对于 $F$, 可取 $H(x,t)\equiv F(x)$, $\forall\ t\in I$.

(2) 相对同伦这个关系是对称的. 若 $F\sim G$, 即存在连续映射 $H(x,t)$, 使得 $H(x,0)=F(x)$, $H(x,1)=G(x)$. 取映射 $\widetilde{H}:\ X\times I\rightarrow Y$ 为 $\widetilde{H}:=H(x,1-t)$, 即证得 $G\sim F$.

(3) 最后, 假设 $F_1\sim F_2$, $F_2\sim F_3$, 同伦映射分别为 $H_1$ 和 $H_2$. 则定义

\[
H(x,t):=
\begin{cases}
H_1(x,2t), & 0\leqslant t\leqslant\frac{1}{2},\\
H_2(x,2t-1), & \frac{1}{2}\leqslant t\leqslant 1.
\end{cases}
\]

容易验证 $H(x,t)$ 是连续的, 并且对每个 $t\in[0,1]$, $H(X,t)$ 都将 $A$ 映入 $B$.

如果 $F$ 和 $G$ 是 $C^\infty$ 同伦, 如何构造上述的光滑映射 $H(x,t)$ ? (查看徐森林的书)