设 $f\in C[a,b]$, 且在 $(a,b)$ 上可导. 若 $f'(x)\neq 0$, $\forall x\in(a,b)$. 则存在 $\xi,\eta\in(a,b)$, 使得 $f'(\xi)=\frac{a+b}{2\eta}f'(\eta)$.
设 $f\in C[a,b]$, 且在 $(a,b)$ 上可导. 若 $f'(x)\neq 0$, $\forall x\in(a,b)$. 则存在 $\xi,\eta\in(a,b)$, 使得
\[f'(\xi)=\frac{a+b}{2\eta}f'(\eta).\]
类似的问题还可以这样设置
使得
\[
\frac{f'(\xi)}{f'(\eta)}=\frac{e^b-e^a}{b-a}e^{-\eta}.
\]
一般看到这种形式的等式, 就应该想到使用 Cauchy 中值定理.