问题

对任意素数 $p\neq 2,5$, 存在 $n$, 使得 $10^n\equiv 1(\mod p)$.

更一般的,

对于与 $m$ 互素的任何数 $a$, 存在 $n$, 使得 $a^n\equiv 1(\mod m)$.

Hint: 即 Euler 定理, $n=\phi(m)$.