问题

定理 (Cauchy-Schwarz 不等式). 对任意实数 $x_i$, $y_i$, $i=1,2,\ldots,n$, 都有下面的不等式

\[
(x_1 y_1+x_2 y_2+\cdots+x_n y_n)^2\leqslant (x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2).
\]

特别地, 令 $y_i=1$, $\forall\ i=1,2,\ldots,n$, 则我们得到

\[
\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\leqslant\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}}.
\]

Cauchy-Schwarz 不等式最简单的证明是利用向量的内积. 令 $\vec{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$, $\vec{y}=(y_1,y_2,\ldots,y_n)$, 则由

\[
\vec{x}\cdot\vec{y}=|\vec{x}|\cdot|\vec{y}|\cdot\cos\angle(\vec{x},\vec{y})
\]

知 $\vec{x}\cdot\vec{y}\leqslant|\vec{x}|\cdot|\vec{y}|$.