问题

设 $M$ 是完备的黎曼流形, $f\in C^3(M)$, 任取 $p\in M$, $\{x_i\}$ 是 $p$ 点的法坐标系, 则有下面的公式

\[\Delta|\nabla f|^2=2\sum_{i,j}f_{ij}^2+2\sum_{i,j}R_{ij}f_if_j+2\sum_{i}f_i(\Delta f)_i,\]

其中 $f_i$ 是 $f$ 相应于 $\frac{\partial}{\partial x_i}$ 的协变导数, $R_{ij}$ 是 $M$ 的 Ricci 张量.

\[Ric(\nabla f,\nabla f)=\sum_{i,j}R_{ij}f_i f_j\]

由于该等式中含有 Ric 曲率项, 以及函数的梯度, 因此可应用到有关 Ricci 曲率条件的问题中. 比如梯度估计就使用了此等式.

$\text{Ric}\geq k$ 指 $\text{Ric}(v)$ 的特征值均大于等于 $k$. 用 $(0,2)$-型张量的语言, 即指

\[\text{Ric}(v,v)\geq kg(v,v),\quad\forall\ v\in T_p(M), \quad\forall\ p\in M.\]

References:

丘成桐、孙理察 著 微分几何讲义, 高等教育出版社.