问题

当曲线的曲率 $\kappa\equiv\text{const.}$ 且挠率 $\tau\equiv\text{const.}$ 时, 这样的曲线是什么样的?

回忆

第 $i$ 个曲率为 $K_i(t):=\frac{\omega_{i,i+1}(t)}{|\dot{c}(t)|}$.

这里不妨设曲线以弧长为参数. $c:\ I\rightarrow\mathbb{R}^3$, $s\mapsto c(s)$, $s$ 为弧长参数.

则

\[
e_1(s)=\dot{c}(s),\quad e_2(s)=\frac{\ddot{c}(s)}{|\ddot{c}(s)|},\quad e_3(s)=\frac{\dot{c}(s)\times\ddot{c}(s)}{|\ddot{c}(s)|},\quad\kappa(s)=|\ddot{c}(s)|
\]

\[
\tau(s)=\frac{\det(\dot{c}(s),\ddot{c}(s),\dddot{c}(s))}{\kappa^2(s)}
\]

详见问题724的解答.