问题

[Def] 设 $M$ 是光滑流形, 如果存在 $M$ 的一个局部坐标系 $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in\Gamma}$, 使得当 $U_\alpha\cap U_\beta\neq\emptyset$ 时, ($\forall\ \alpha,\beta\in\Gamma$)

\[\text{Jacobian}(\varphi_\beta\circ\varphi_{\alpha}^{-1}) > 0,\]

则称流形 $M$ 是可定向的. 有时也称局部坐标系 $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in\Gamma}$ 为 $M$ 的一个定向.

(1) $S^n$ 是光滑流形已经在问题750中证明. 请通过计算流形图卡之间的转换映射的 Jacobian, 证明 $S^n$ 是可定向流形.

(2) 射影空间 $\mathbb{RP}^n$ 是 $n$ 维光滑流形, 且是实解析流形的证明参见问题750. 证明: $\mathbb{RP}^n$ 当 $n$ 奇数时可定向, $n$ 偶数时不可定向. (也可以采用微分形式的方法证明, 见问题895.)

(3) Klein 瓶是不可定向的.

这里给出一个简单的例子, 对于 $S^2$, 证明其可定向.

回忆问题750的答案中转换映射是这样构造的,

\[\psi\circ\varphi^{-1}:\ \varphi(U\cap V)\rightarrow\psi(U\cap V),\]

其中 $U=S^n-\{N\}$, $V=S^n-\{S\}$, 其中 $N=(0,0,\ldots,0,1)\in\mathbb{R}^{n+1}$, $S=(0,0,\ldots,0,-1)\in\mathbb{R}^{n+1}$, 即球面的南北极点.

\[\psi\circ\varphi^{-1}:\ (y_1,y_2,\ldots,y_n)\mapsto\frac{1}{\sum_{i=1}^{n}y_i^2}(y_1,y_2,\ldots,y_n).\]

比如对于 $S^2$,

\[(y_1,y_2)\mapsto(\frac{y_1}{y_1^2+y_2^2},\frac{y_2}{y_1^2+y_2^2}),\]

Jacobian 为

\[
J(\psi\circ\varphi^{-1})=
\begin{vmatrix}
\frac{y_2^2-y_1^2}{(y_1^2+y_2^2)^2} & \frac{-2y_1 y_2}{(y_1^2+y_2^2)^2}\\
\frac{-2y_1 y_2}{(y_1^2+y_2^2)^2} & \frac{y_1^2-y_2^2}{(y_1^2+y_2^2)^2}
\end{vmatrix}
=\frac{1}{(y_1^2+y_2^2)^4}\bigl[-(y_1^2-y_2^2)^2-4y_1^2 y_2^2\bigr] < 0.
\]

因此, $S^2$ 是可定向的.

References:

梅加强, 紧黎曼曲面引论 笔记

陈维桓 编著 《微分流形初步》