问题

设 $f:G_1\rightarrow G_2$ 是李群之间的同态. 则 $H=\ker f$ 是 $G_1$ 中的正规李子群, 且 $f$ 诱导出单同态 $G_1/H\rightarrow G_2$, 且这是流形 $G_1/H$ 到 $G_2$ 的浸入映射.

若 $\mathrm{Im}f$ 是闭的, 则 $\mathrm{Im}f$ 是 $G_2$ 中的李子群, 并且 $f$ 诱导出李群之间的同构: $G_1/H\cong \mathrm{Im}f$.

Example 2.13

设 $G_1=\mathbb{R}$, $G_2=T^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$; 定义映射

\[
\begin{array}{rcl}
f:\ G_1&\rightarrow & G_2\\
t&\mapsto&(t\mod\ \mathbb{Z},\ \alpha t\mod\ \mathbb{Z})
\end{array}
\]

这里 $\alpha$ 是无理数. 众所周知, $f$ 的像在 $T^2$ 处处稠密(参见问题1611). (有时称 $f$ 是环面上的 irrational winding.)

此时, $H:=\ker f=\{0\}$, $\mathrm{Im}f$ 是 $T^2$ 中的闭集, 因此 $\mathrm{Im}f\cong\mathbb{R}$.