问题

设 $f:\ \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ 是 $C^\infty$ 映射($f(x,y)=\bigl(f_1(x,y),f_2(x,y)\bigr)$), 且满足 Cauchy-Riemann 方程

\[
\begin{cases}
\frac{\partial f_1}{\partial x}=\frac{\partial f_2}{\partial y}\\
\frac{\partial f_1}{\partial y}=-\frac{\partial f_2}{\partial x}
\end{cases}
\]

证明:

(1) $Df(x,y)=0$ 当且仅当 $\det(Df(x,y))=0$.

(2) $f:\ \mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ 的局部逆(如果存在), 也满足 Cauchy-Riemann 方程.

(3) 若 $f$ 不满足 Cauchy-Riemann 方程, 则 (1) 不正确, 请给出反例.