设 $f(x)$  是周期为 $T$ 的周期函数, $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数. 则 $F(x)$ 以 $T$ 为周期当且仅当 $F(T)=F(0)$.

求不定积分 $\displaystyle\int\frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x}\mathrm{d}x$.

列举一些不能用初等函数表示的不定积分.

例如:

\[
\int\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x,\quad\int e^{-x^2}\mathrm{d}x,
\]

求不定积分 $\displaystyle\int\sin^4 x\mathrm{d}x$,  $\displaystyle\int\cos^4 x\mathrm{d}x$.

求不定积分 $\displaystyle\int\sin^6 x\mathrm{d}x$,  $\displaystyle\int\cos^6 x\mathrm{d}x$.

一般的, 若记 $I_n=\int\sin^n x\mathrm{d}x$, $J_n=\int\cos^n x\mathrm{d}x$, 利用分部积分可证明:

\[
I_n=-\frac{1}{n}\sin^{n-1}x\cdot\cos x+\frac{n-1}{n}I_{n-2}.
\]

\[
J_n=\frac{1}{n}\sin x\cdot\cos^{n-1} x+\frac{n-1}{n}J_{n-2}.
\]

1.   $\displaystyle\int\frac{2^{\arctan x}}{1+x^2}\mathrm{d}x$

2.   $\displaystyle\int(\tan x)\ln\cos x\mathrm{d}x$

3.   $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{4+x^2}}$

求不定积分 $\int\frac{x^n}{1+x}\mathrm{d}x$

证明:  \[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\mathrm{d}x=0.\]

备注:  

Sowya 使用教程 - 知乎 (zhihu.com) 给出了应用递推公式计算定积分的例子, 

计算 \[\int_0^1\frac{x^n}{x+5}\mathbb{d}x\]

万能变换是指令 $t=\tan\frac{x}{2}$, 从而三角函数 $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$ 可以变换为关于 $t$ 的有理函数,

\[
\begin{aligned}
\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\\
\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\\
\tan x=\frac{2t}{1-t^2}
\end{aligned}
\]

一般用于计算三角有理式的不定积分.

所谓有理函数是指两个多项式的商. 这里都是实系数多项式.

求不定积分

\[\int\arctan^2\theta\mathrm{d}\theta=\int(\arctan\theta)^2\mathrm{d}\theta,\]

或写成 $x$ 的形式

\[\int(\arctan x)^2\mathrm{d}x.\]

求不定积分 $\int\frac{\ln(1-\sqrt{1-x})}{x}\mathrm{d}x$.

\[
\int\frac{\ln(1-x)}{x}\mathrm{d}x,\qquad\int\frac{\ln(1+x)}{x}\mathrm{d}x
\]

\[
\int\frac{xe^x}{e^x-1}\mathrm{d}x,\qquad\int\frac{xe^x}{e^x+1}\mathrm{d}x
\]