双平方和问题的解数公式
设正整数 $n$ 表示为
\[n=2^\gamma\cdot p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_s^{\alpha_s}\cdot q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2}\cdots q_t^{\beta_t}\]
这里 $p_i$, $q_j$ 是互异的奇素数, 模 4 分别余 1 和 3, 即 $p_i\equiv 1\pmod 4$, $q_j\equiv 3\pmod 4$.
定义下列三个函数,
\[
\delta(n)=\biggl[\prod_{i=1}^{s}(\alpha_i+1)\biggr]\biggl[\prod_{j=1}^{t}\frac{(-1)^{\beta_j}+1}{2}\biggr],
\]
\[
\varepsilon(n)=\biggl[\frac{(-1)^{\gamma}+1}{2}\biggr]\biggl[\prod_{i=1}^{s}\frac{(-1)^{\alpha_i}+1}{2}\biggr]\biggl[\prod_{j=1}^{t}\frac{(-1)^{\beta_j}+1}{2}\biggr],
\]
\[
\xi(n)=(-1)^{\gamma}\cdot\Biggl[\dfrac{(-1)^{\prod_{i=1}^{s}(\alpha_i+1)}-1}{2}\Biggr]\biggl[\prod_{j=1}^{t}\frac{(-1)^{\beta_j}+1}{2}\biggr].
\]
特别的, 当 $n=1$ 时, 可得 $\gamma=\alpha_i=\beta_j=0$, $i=1,2,\ldots,s$, $j=1,2,\ldots,t$. 因此,
\[\delta(1)=1,\quad\varepsilon(1)=1,\quad\xi(1)=-1.\]
定理 1. 若用 $r_2(n)$ 表示二次不定方程 $x^2+y^2=n$ 整数解的数目, 则
\[
\begin{split}
r_2(n)&=\mathrm{Card}\{(x,y)\in\mathbb{Z}^2\ :\ x^2+y^2=n\}\\
&=4\delta(n).
\end{split}
\]
定理 2. 若用$r_2^{+}(n)$ 表示二次不定方程 $x^2+y^2=n$ 正整数解的数目, 则
\[
\begin{split}
r_2^{+}(n)&=\mathrm{Card}\{(x,y)\in\mathbb{Z}_{+}^2\ :\ x^2+y^2=n\}\\
&=\delta(n)-\varepsilon(n).
\end{split}
\]
定理 3. 若用$r_{2*}^{+}(n)$ 表示二次不定方程 $x^2+y^2=n$ 无序正整数解的数目, 则
\[
\begin{split}
r_{2*}^{+}(n)&=\mathrm{Card}\{(x,y)\in\mathbb{Z}_{+}^2\ :\ x^2+y^2=n\quad\text{且}\ x\leqslant y\}\\
&=\frac{\delta(n)+\xi(n)}{2}.
\end{split}
\]
Remark:
来自于数论群.
