不定方程 $5^m=3^n+2$ 仅有一个解 $(m,n)=(1,1)$.

详见 number theory - $5^m = 2 + 3^n$ help what to do - Mathematics Stack Exchange

Euler 的证明

\[
\frac{1}{2}\prod_{p\in PRIMES}\frac{p^2+1}{p^2-1}=\frac{\zeta^2(2)}{2\zeta(4)}=\frac{25}{20}.
\]

See [1] P.156.

References:

[1] Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory.

8209 is a prime

2089 is a prime

89208029 is a prime

82908029 is a prime

80209289 is a prime

80292809 is a prime

82092089 is a prime

28002899 is a prime

20882909 is a prime

22088909 is a prime

22098809 is a prime

92280809 is a prime

定义.  设 $p$ 为素数, 对于正整数 $a$, $b$, 若存在 $n$ 使得

\[
a^n\equiv b\pmod p ,
\]

则称 $n$ 为 $b$ 的以 $a$ 为底的离散对数. 记作 $n=\log_a b$.

2024年九省联考的一道题目是这样的.

设 $p$ 为素数, 令 $X_p=\{1,2,\ldots,p-1\}$.  取 $a\in X_p$, 使得满足 $1,a,a^2,\ldots,a^{p-2}$ （在模 $p$ 之下）两两不同余.

1.  求 $a^{p-1}\pmod p$,  其中 $a=2$, $p=11$.

2.  证明,  对任意 $b,c\in X_p$, 下式成立

\[
\log_a (bc \mod p)\equiv \log_a b+\log_a c\pmod{p-1}.
\]

3.  已知 $n=\log_a b$, 对于 $x\in X_p$, $k\in\{1,2,\ldots,p-2\}$. 设 $y_1=a^k$, $y_2=xb^k$, 证明:

\[
x\equiv y_2 y_1^{n(p-2)}\pmod p .
\]

设正整数 $m=p_1^{t_1}p_2^{t_2}\cdots p_n^{t_n}$, 这里 $\{p_i\}$ 是 $m$ 的互不相同的素因子. 则 $m$ 的约数 $d$ 必形如

\[
d=p_1^{s_1}p_2^{s_2}\cdots p_n^{s_n},
\]

其中 $0\leqslant s_i\leqslant t_i$, $i=1,2,\ldots,n$. 因此 $m$ 所有可能的约数个数为

\[
\tau(m)=\prod_{i=1}^{n}(t_i+1)=(t_1+1)(t_2+1)\cdots(t_n+1).
\]

参考[1] P. 19,  定理28.

References:

[1] A. K. 苏什凯维奇  著,  叶乃膺  译 《数论初等教程》 

引理. 有 $d$ 个整数 $u_1,u_2,\ldots,u_d$, 则存在 $u_{i_1}+\cdots+u_{i_t}$ $(1\leqslant i_1 < \cdots < i_t\leqslant d)$, 使得 $d|(u_{i_1}+\cdots+u_{i_t})$.

Hint. 使用鸽巢原理.

该引理参见 [1] 中的 Lemma 1.

References:

[1] Norbert Hegyvari, On the representation of integers as sums of distinct terms from a fixed set.  ACTA ARITHMETICA, XCII.2 (2000)

双平方和问题的解数公式

设正整数 $n$ 表示为

\[n=2^\gamma\cdot p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_s^{\alpha_s}\cdot q_1^{\beta_1}q_2^{\beta_2}\cdots q_t^{\beta_t}\]

这里 $p_i$, $q_j$ 是互异的奇素数, 模 4 分别余 1 和 3, 即 $p_i\equiv 1\pmod 4$, $q_j\equiv 3\pmod 4$. 

定义下列三个函数,

\[
\delta(n)=\biggl[\prod_{i=1}^{s}(\alpha_i+1)\biggr]\biggl[\prod_{j=1}^{t}\frac{(-1)^{\beta_j}+1}{2}\biggr],
\]

\[
\varepsilon(n)=\biggl[\frac{(-1)^{\gamma}+1}{2}\biggr]\biggl[\prod_{i=1}^{s}\frac{(-1)^{\alpha_i}+1}{2}\biggr]\biggl[\prod_{j=1}^{t}\frac{(-1)^{\beta_j}+1}{2}\biggr],
\]

\[
\xi(n)=(-1)^{\gamma}\cdot\Biggl[\dfrac{(-1)^{\prod_{i=1}^{s}(\alpha_i+1)}-1}{2}\Biggr]\biggl[\prod_{j=1}^{t}\frac{(-1)^{\beta_j}+1}{2}\biggr].
\]

特别的, 当 $n=1$ 时, 可得 $\gamma=\alpha_i=\beta_j=0$, $i=1,2,\ldots,s$, $j=1,2,\ldots,t$. 因此,

\[\delta(1)=1,\quad\varepsilon(1)=1,\quad\xi(1)=-1.\]

定理 1.  若用 $r_2(n)$ 表示二次不定方程 $x^2+y^2=n$ 整数解的数目, 则

\[
\begin{split}
r_2(n)&=\mathrm{Card}\{(x,y)\in\mathbb{Z}^2\ :\ x^2+y^2=n\}\\
&=4\delta(n).
\end{split}
\]

定理 2. 若用$r_2^{+}(n)$ 表示二次不定方程 $x^2+y^2=n$ 正整数解的数目, 则

\[
\begin{split}
r_2^{+}(n)&=\mathrm{Card}\{(x,y)\in\mathbb{Z}_{+}^2\ :\ x^2+y^2=n\}\\
&=\delta(n)-\varepsilon(n).
\end{split}
\]

定理 3. 若用$r_{2*}^{+}(n)$ 表示二次不定方程 $x^2+y^2=n$ 无序正整数解的数目, 则

\[
\begin{split}
r_{2*}^{+}(n)&=\mathrm{Card}\{(x,y)\in\mathbb{Z}_{+}^2\ :\ x^2+y^2=n\quad\text{且}\ x\leqslant y\}\\
&=\frac{\delta(n)+\xi(n)}{2}.
\end{split}
\]

Remark:

来自于数论群.

\begin{aligned}
3^3 + ... + 5^3 &= 6^3,\\
3^3 + ... + 22^3 &= 40^3,\\
6^3 + ... + 30^3 &= 60^3,\\
6^3 + ... + 69^3 &= 180^3,\\
11^3 + ... + 14^3 &= 20^3,\\
15^3 + ... + 34^3 &= 70^3,\\
\end{aligned}

\(\sum_{k=1}^{n^3}(\frac{n^4-3n^3-2n-2}{6}+k)^3=(\frac{n^5+n^3-2n}{6})^3\)

利用 Calculator 计算.

>> solve_n3plus_until_M3_eq_p3(1,1000)
in> solve_n3plus_until_M3_eq_p3(1,1000)
out>
3^3 + ... + 5^3 = 6^3
3^3 + ... + 22^3 = 40^3
6^3 + ... + 30^3 = 60^3
6^3 + ... + 69^3 = 180^3
11^3 + ... + 14^3 = 20^3
11^3 + ... + 109^3 = 330^3
15^3 + ... + 34^3 = 70^3
34^3 + ... + 158^3 = 540^3
213^3 + ... + 365^3 = 1581^3
213^3 + ... + 555^3 = 2856^3
273^3 + ... + 560^3 = 2856^3
291^3 + ... + 339^3 = 1155^3
406^3 + ... + 917^3 = 5544^3
556^3 + ... + 654^3 = 2805^3
646^3 + ... + 798^3 = 3876^3

---------
Total: 15 solutions.

------------------------

>> solve_n3plus_until_M3_eq_p3(10000,11000)
in> solve_n3plus_until_M3_eq_p3(10000,11000)
out>

---------
Total: 0 solutions.

------------------------

References:

等幂和问题(5)—— 3³+4³+5³=6³ 绝非巧合！ - 知乎 (zhihu.com)

解方程

\[n^3+(n+1)^3+\cdots+(n+m)^3=p^3\]

若记 $M=n+m$, 且假设 $n,M\in[1,1000]$, 则有以下解:

>> solve_n3plus_until_M3_eq_p3(1,1000)
in> solve_n3plus_until_M3_eq_p3(1,1000)
out> 3^3 + ... + 5^3 = 6^3
3^3 + ... + 22^3 = 40^3
6^3 + ... + 30^3 = 60^3
6^3 + ... + 69^3 = 180^3
11^3 + ... + 14^3 = 20^3
11^3 + ... + 109^3 = 330^3
15^3 + ... + 34^3 = 70^3
34^3 + ... + 158^3 = 540^3
213^3 + ... + 365^3 = 1581^3
213^3 + ... + 555^3 = 2856^3
273^3 + ... + 560^3 = 2856^3
291^3 + ... + 339^3 = 1155^3
406^3 + ... + 917^3 = 5544^3
556^3 + ... + 654^3 = 2805^3
646^3 + ... + 798^3 = 3876^3

---------
Total: 15 solutions.

>> solve_n3plus_until_M3_eq_p3(1000,2000)
in> solve_n3plus_until_M3_eq_p3(1000,2000)
out>
---------
Total: 0 solutions.

问: 其一般的参数解的形式是怎样的? 

Remark: 问题来源于“数学人交流群”.

求方程 $x^3+y^3=z^n$ 的正整数解, 这里 $x,y\in[8,100]$.