问题

设正整数 $m=p_1^{t_1}p_2^{t_2}\cdots p_n^{t_n}$, 这里 $\{p_i\}$ 是 $m$ 的互不相同的素因子. 则 $m$ 的约数 $d$ 必形如

\[
d=p_1^{s_1}p_2^{s_2}\cdots p_n^{s_n},
\]

其中 $0\leqslant s_i\leqslant t_i$, $i=1,2,\ldots,n$. 因此 $m$ 所有可能的约数个数为

\[
\tau(m)=\prod_{i=1}^{n}(t_i+1)=(t_1+1)(t_2+1)\cdots(t_n+1).
\]

参考[1] P. 19,  定理28.

References:

[1] A. K. 苏什凯维奇  著,  叶乃膺  译 《数论初等教程》