设正整数 $n$ 满足下面的方程,

\[n^2-n+11=p_1p_2p_3p_4,\]

其中 $p_1,p_2,p_3,p_4$ 是四个大于 2 的素数, 且各不相同. 问此方程是否有解, 如有, 最小的解 $n$ 是多少?

Remark:

题目来源于 David Chen.

设 $a$ 和 $b$ 为正整数, 且 $ab+1$ 整除 $a^2+b^2$, 求证 $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ 是某个正整数的平方.
 

Remark: 这是第29届IMO的第六题, 德国人出的题.

References:

求解同余方程组

\[
\begin{cases}
x\equiv 3\pmod 5,\quad(1)\\
x\equiv 1\pmod {21}.\quad(2)
\end{cases}
\]

在坐标平面上把2个坐标都是整数的点称为整点，对于任意给定的5个整点，证明其中一定有2个整点，使得其连线的中点仍为整点。

函数 $f:\ \mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$ 满足下列条件:

(1) $f(n) < f(n+1)$,

(2) $f(f(n))=3n$.

求 $f(n)$.

Remark:

题目来源: 周久儒

分圆多项式(Cyclotomic Polynomials)

Fermat number 指形如 $2^{2^n}+1$ 的正整数. 它有如下性质:

(1) $F_n=(F_{n-1}-1)^2+1$

(2) $F_n=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}\cdot F_0\cdots F_{n-2}$

(3) $F_n=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^2$

(4) $F_n=F_0\cdots F_{n-1}+2$

由 (4) 可推出 Goldbach 定理: 任意两个不同的 Fermat 数没有共同的因子.

也就是说 Fermat 数之间是互素的.

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number#Generalized_Fermat_primes

:: F E R M A T S E A R C H . O R G :: News

求

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\biggl[\frac{2i+j}{n}\biggr].\]

这里 $\bigl[x\bigr]$ 表示对数 $x$ 进行取整.

Erdős–Straus conjecture

对任意正整数 $n\geqslant 2$, 是否存在正整数 $x,y,z$, 使得方程

\[
\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}
\]

成立?
 

例如：

\[
\frac{4}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{1},
\]

\[
\frac{4}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3},
\]

\[
\frac{4}{4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2},
\]

\[
\frac{4}{5}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}.
\]

一个显然的事实是, 当 $n\equiv 2\pmod 3$ 时, $\frac{4}{n}$ 可以表示为

\[
\frac{4}{n}=\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)/3}+\frac{1}{n(n+1)/3}.
\]

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Straus_conjecture

设 $\alpha\in\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{Z}^+$. 则存在正整数 $a,b$, $1\leqslant a\leqslant n$, 使得

\[
|a\alpha-b| < \frac{1}{n}.
\]