正态分布的热核函数是反应扩散方程的解,

如何理解?

有 $n$ 个人, 每个人都以同样的概率被分配到 $N(n\leqslant N)$ 个房间中的某一间. 求下列事件的概率:

(1) A: 某指定 $n$ 间房中各有 $1$ 人;

(2) B: 恰有 $n$ 间房, 其中各有 $1$ 人;

(3) C: 某指定房间中恰有 $m(m\leqslant n)$ 人.

双色球的玩法说明

双色球投注区分为红球号码区和蓝球号码区，红球号码范围为01～33，蓝球号码范围为01～16。双色球每期从33个红球中开出6个号码，从16个蓝球中开出1个号码作为中奖号码，双色球玩法即是竞猜开奖号码的6个红球号码和1个蓝球号码，顺序不限

从 1--33 这 33 个数中开出 6 个号码.

现在任选 10 个号码, 求中这 6 个号码的概率.

从 33 个数中取 10 个号码的种类是

\[
C_{33}^{10}=\frac{33\times 32\times 31\times 30\times 29\times 28\times 27\times 26\times 25\times 24}{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}=92561040,
\]

\[
C_{10}^{6}=C_{10}^{4}=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{4\times 3\times 2\times 1}=210.
\]

不妨设中奖号码是 $1,2,3,4,5,6$. 则购买的 10 个号码如果覆盖这个中奖号码, 则所有可能的组合构成的集合为

\[
A=\{(1,2,3,4,5,6,x,y,z,w)\mid x,y,z,w\in\{7,8,9,10,\ldots,33\}\},
\]

集合 $A$ 包含的元素个数是
\[
\# A=C_{27}^{4}=\frac{27\times 26\times 25\times 24}{4\times 3\times 2\times 1}=17550.
\]

从而“选 10 个号码中这 6 个号码”的中奖概率是

\[
p(10)=\frac{C_{27}^{4}}{C_{33}^{10}}=\frac{17550}{92561040},
\]

一般的,

\[
p(k)=\frac{C_{27}^{k-6}}{C_{33}^{k}}.
\]

如果将蓝色球也考虑在内, 请计算相应的概率.

二项分布 $B(n,p)$

设随机变量 $X\sim B(n,p)$,  其分布律是

\[
P\{X=k\}=C_n^k p^k q^{n-k}, \quad k=0,1,2,\ldots,n, \quad q=1-p.
\]

于是

\[
E(X)=np,\quad D(X)=npq.
\]