想象一下, 当 $n=2$ 时, 就是要证明一个圆柱体可以收缩到由其底面和侧面构成的一个杯子. 其过程可以这样来想象, 一个没有柄也没有盖子的杯子, 装满了油, 当油被吸管抽走, 则原来的三维体就慢慢形变成空空的杯子了. (这里我们假定油会附着在杯子内侧.)

当然还有其他的办法来实现这一同伦过程. 比如杯子中装有一种特殊物质, 它对某种光线非常敏感, 随着这种光线的持续照射, 会沿着光照的方向匀速消失, 直到杯子内表面. 现在将这个光源放在盛满该种物质的杯子的正上方, 经过一定时间的照射, 原来的三维体就慢慢变成空杯子了.

为了方便数学描述, 将上面的模型抽象为中心投影.

在 $\mathbb{E}^{n+1}$ 中取点 $A=(0,\ldots,0,2)$, $B^n\times I$ 中的点 $(u,t)$ 被 $A$ 射出的“光”照射到 $B^n\times\{0\}$ 或 $\partial B^n\times I$ 上.

由点 $(\mathbf{0},2)$ 与 $(u,t)$ 确定的直线方程是,

\[\frac{y-2}{\mathbf{x}-\mathbf{0}}=\frac{2-t}{\mathbf{0}-u},\]

解得, $y=2-\frac{2-t}{u}\mathbf{x}$, 令 $\mathbf{x}=\frac{u}{\|u\|}$, 则 $y=2-\frac{2-t}{\|u\|}$.

由 $A$ 与 $\partial B^n$ 构成的锥面方程为,

\[\|u\|=1-\frac{1}{2}t.\]

若令 $r:\ B^n\times I\rightarrow B^n\times\{0\}\cup S^{n-1}\times I$,

\[
r(u,t)=
\begin{cases}
(\frac{u}{\|u\|}, 2-\frac{2-t}{\|u\|}), & \|u\|\geqslant 1-\frac{t}{2},\\
(\frac{2u}{2-t},0), & \|u\|\leqslant 1-\frac{t}{2}.
\end{cases}
\]

如果将这里的 $t$ 看作时间的话, 则在锥面 $\|u\|=1-\frac{1}{2}t$ 内部的同一高度的点可以被认为是同时到达底部的.

Remark:

这个引理不仅对 $B^n$ 成立, 对于 $n$ 维单形也是成立的. 若 $\sigma^n$ 是 $n$ 维单形, 则有

Lem. $\sigma^n\times\{0\}\cup\partial\sigma^n\times I$ 是 $\sigma^n\times I$ 的收缩核. (这里 $n\geqslant 1$.)

References:

廖山涛, 刘旺金 著, 《同伦论基础》, 北京大学出版社. 1980

设 $K$ 是欧氏空间中的有限复形, $L$ 是其闭子复形. 记 $P=|K|\times I$, $Q=|K|\times\{0\}\cup |L|\times I$, 则 $Q$ 是 $P$ 的收缩核.

证明: $S^n\bigvee S^1$ 不是 $S^n\times S^1$ 的收缩核, 从而 $S^n\bigvee S^1$ 不是 $n$-单式的. 特别地, $\pi_1(S^1\bigvee S^1)$ 不是交换群.

这里 $S^n\bigvee S^1=S^n\times\{p_0\}\cup\{p\}\times S^1$, 其中 $(p,p_0)\in S^n\times S^1$, $n\geqslant 1$.

设 $M$ 是流形, 若恒同映射 $\text{id}:M\rightarrow M$ 同伦于常值映射 $f_b:M\rightarrow\{b\}$. 则称 $M$ 是可缩的(contractible). ($M$ 可缩至 $b$.)

例:

$\mathbb{R}^n$ 中任意星形开集 $U$ 都是可缩的.

任取 $b\in U$, $U$ 到 $b$ 点的同伦可取为 $H(x,t)=(1-t)x+tb$.

性质:

可缩空间的基本群是 $\{e\}$(或写成 $\{1\}$), 即只含有单位元的平凡群. 从而可缩空间是单连通的.

但是单连通并不意味着可缩, 比如 $S^n$, $n>1$ 都不是可缩的, 但其基本群是 $\{e\}$.

设 $M_1$ 和 $M_2$ 是两个流形, 并且同胚. $F:M_1\rightarrow M_2$ 是同胚映射, 且 $F(b_1)=b_2$. 则 $F_*$ 是基本群 $\pi_1(M_1,b_1)$ 与 $\pi_1(M_2,b_2)$ 之间的同构.

这也表明基本群确实是一个拓扑不变量.

基本群(fundamental group) 是拓扑空间或流形的一个非常重要的不变量. 基本群的定义不一定非要限制于流形. 不过为了方便起见, 下面总是在流形上定义.

假设 $M$ 是流形, $b$ 是 $M$ 上的一个固定点. 记 $\pi_1(M,b)$ 为 $M$ 上以 $b$ 为基点的所有回路的同伦类组成的集合.

由于有下面的性质(见问题798)

(iii) 若 $f_1\sim f_2$, 且 $g_1\sim g_2$, 则 $f_1*g_1\sim f_2*g_2$.

因此, 可以定义同伦类之间的乘法: $[f][g]:=[f*g]$.

[Thm & Def] $\pi_1(M,b)$ 在同伦类乘法下是一个群, 称为流形 $M$ 的基本群(也叫做 Poincaré 群).

Pf. 乘法的结合律可由(i) $f*(g*h)\sim(f*g)*h$. 及(iii) 推出. 即有 $[f]*([g]*[h])=([f]*[g])*[h]$. 性质

(ii) 设 $f(1)=b=g(0)$, 且设 $f=e_b$. 则 $e_b *g\sim g$. 类似地, 若 $g=e_b$. 则 $f*e_b\sim f$.

保证了单位元的存在性; 性质

(iv) 若 $g(s)=f(1-s)$, 且 $a=f(0)$, $b=f(1)$, 则 $f*g\sim e_a$ 且 $g*f\sim e_b$.

保证了逆元的存在性. 因此 $\pi_1(M,b)$ 是一个群.   Q.E.D.

基本群的性质

设 $M$, $N$, $P$ 都是流形.

(1) 若 $F:M\rightarrow N$ 是连续映射, 则 $F$ 确定了一个同态:

\[
\begin{array}{rcl}
F_*:\ \pi_1(M,b)&\rightarrow&\pi_1(N,F(b))\\
[f]&\mapsto&[F\circ f]
\end{array}
\]

(2) 若 $G:M\rightarrow N$ 与 $F:M\rightarrow N$ 是 $(M,b)$ 到 $(N,F(b))$ 的相对同伦, 则 $F_*=G_*$.

(3) 若 $F:M\rightarrow M$ 是 $M$ 上的恒等映射, 则 $F_*:\ \pi_1(M,b)\rightarrow\pi_1(M,b)$ 是恒等同构.

(4) 若 $G:M\rightarrow N$ 与 $F:N\rightarrow P$ 都是连续映射. 则 $(F\circ G)_*=F_*\circ G_*$.

即要证明, $M$ 单连通的定义与基点的选取无关. 单连通的定义见问题798.

作为同伦概念的第一个应用, 我们考虑单位区间 $I=[0,1]$ 到流形 $M$ 的所有连续映射的同伦类.

Def(道路 path). 称连续映射 $f:I\rightarrow M$ 是 $M$ 中从 $f(0)$ 出发到终点 $f(1)$ 的一条道路.

我们将考虑所谓的定点同伦, 即这里的道路同伦映射 $H(t,x)$ 保持起始点和终点不动. (注意这里映射 $H$ 的写法与定义中的可能不一致, 但无关紧要.) 也即, $H(t,0)=b$, $H(t,1)=d$, $\forall\ t\in I$. $b, d$ 是 $M$ 中的两个固定点.

定点同伦实际上 $(I,\{0,1\})$ 到 $(M,\{b,d\})$ 的相对同伦.

给定流形 $M$, 固定基点 $b\in M$. 考虑以 $b$ 为起始点的所有道路. 如果 $b$ 同时也是终点, 则称此道路为回路(loop). 于是回路指连续映射 $f:I\rightarrow M$, 满足 $f(0)=b=f(1)$.

上面关于回路的定义加入了基点, 即特别指明了起始点和终点. 简洁地说.

Def(回路, loop). 终点与起点相同的道路称为回路. 即连续映射 $f:I\rightarrow M$, 满足 $f(0)=f(1)$.

如果此连续映射是常值映射, 则称为常值道路, 特记为 $e_b(s)\equiv b$, $0\leqslant s\leqslant 1$.

记道路 $f$ 的同伦类为 $[f]$, 这里我们总是指相对同伦. 在这些同伦类中有一个特殊的同伦类, 即同伦于常值道路的同伦类, 称它为零伦类.

Def(单连通, simply connected). 如果 $M$ 上仅有零伦类, 并且 $M$ 是连通的, 则称 $M$ 是单连通的.

这意味着, 以 $b$ 为基点的任意回路可在 $M$ 中连续形变为常值回路. 容易验证这个性质与基点 $b$ 的选取无关.(见问题799.)

并且 $M$ 是单连通的, 等价于说 $M$ 上任意闭曲线(指 $S^1$ 的连续映射像)可在 $M$ 上连续形变为一个点.

从代数拓扑的观点, 道路、回路以及它们的同伦类在研究空间时是非常有用的. 因为一个重要的目标是要对所研究的空间赋予一个代数对象, 比如群, 并且这个代数对象在这个空间的同胚变换下是不变的, 只和该空间的拓扑有关. 从而可用于“表征”空间的拓扑特征.

这里我们将研究对象限制为流形, 只是为了方便起见, 而非必要的.

设 $M$ 是一个连通流形, $f,g$ 是 $M$ 上的两条道路, $f$ 的终点与 $g$ 的起点是同一点, 即 $f(1)=g(0)$. 我们可以将这两条道路衔接在一起, 并成新的一条道路, 只需重新参数化:

\[h(s)=
\begin{cases}
f(2s), & 0\leqslant s\leqslant\frac{1}{2},\\
g(2s-1), & \frac{1}{2}\leqslant s\leqslant 1.
\end{cases}
\]

由粘合引理, $h:I\rightarrow M$ 是连续映射. 我们称 $h$ 是 $f$ 和 $g$ 的乘积, 记为 $h=f*g$. 这个乘积具有下述性质:

(i) $f*(g*h)\sim(f*g)*h$.

(ii) 设 $f(1)=b=g(0)$, 且设 $f=e_b$. 则 $e_b *g\sim g$. 类似地, 若 $g=e_b$. 则 $f*e_b\sim f$.

(iii) 若 $f_1\sim f_2$, 且 $g_1\sim g_2$, 则 $f_1*g_1\sim f_2*g_2$.

(iv) 若 $g(s)=f(1-s)$, 且 $a=f(0)$, $b=f(1)$, 则 $f*g\sim e_a$ 且 $g*f\sim e_b$.

(v) 设 $F:M\rightarrow N$ 是两个流形之间的连续映射, 且记 $f\'=F\circ f$, $g\'=F\circ g$, 即 $f\'$, $g\'$ 是 $N$ 中的两条道路. 则 $(f*g)\'=f\'*g\'$.

Remark: 这里约定同伦映射 $H$ 中第一个参数是形变参数 $t$. 即写成 $H(t,x)$.

References:

译自:

William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, second edition.

其他参考书:

尤承业, 基础拓扑学讲义. 北京大学出版社.

对于任意拓扑空间 $X,Y$ 及它们各自的任意闭子空间 $A,B$, 在 $(X,A)$ 到 $(Y,B)$ 的所有连续映射组成的空间中, 相对同伦是一个等价关系.

Def(同伦). 设 $X,Y$ 是两个拓扑空间, $F,G$ 是 $X$ 到 $Y$ 的两个连续映射. 令 $I=[0,1]$, 若存在连续映射

\[H:\ X\times I\rightarrow Y,\]

满足 $F(x)=H(x,0)$, $G(x)=H(x,1)$, 对任意 $x\in X$ 成立. 则称 $F$ 与 $G$ 是同伦的, 记为 $F\sim G$. $H$ 为同伦映射. 也称 $H$ 是链接 $F$ 和 $G$ 的一个同伦或伦移, 有时记 $H: F\sim G$.

若 $X$ 和 $Y$ 都是 $C^\infty$ 流形, 并且 $F,G$ 是 $C^\infty$ 映射. 若存在上面所述的 $C^\infty$ 映射 $H$, 则称 $F$ 和 $G$ 是光滑同伦的.

Remark 1.

$H_t(x)=H(x,t)$ 定义了一个单参数映射族 $H_t:X\rightarrow Y$, $0\leqslant t\leqslant 1$. $F=H_0$, $G=H_1$. 同伦定义中强调了 $H$ 对参数 $t$ 和变量 $x$ 都是连续的. 如果是 $C^\infty$ 同伦, 则要求都是 $C^\infty$ 的.

Remark 2.

假设 $X$ 是光滑流形.

(1) 若 $\partial X=\emptyset$, 则 $X\times I$ 是 $X\times\mathbb{R}$ 的一个 regular domain. 并且是一个带边流形. 事实上, $\partial(X\times I)=X\times\{0\}\cup X\times\{1\}$, 因此, 对于 $F,G:X\rightarrow Y$, 可以定义光滑同伦.

(2) 若 $\partial X\neq\emptyset$, 则 $X\times I$ 不是一个带边流形. (例如, 考虑 $X=\overline{B_1^2}(0)$, 2 维单位闭圆盘. $X\times I$ 虽然带边界, 但不是“光滑”流形. 尽管如此, 它仍是 $X\times\mathbb{R}$ 中的一个很好的闭区域, 而 $X\times\mathbb{R}$ 是一个带边流形. 因此仅有较小的技术问题.

Remark 3.

当 $X,Y$ 都是带边流形时, 在很多时候为了某种目的我们要求 $H_t(\partial X)\subset\partial Y$, 对所有 $t\in[0,1]$. 这与下面的同伦的推广定义有关.

当考虑 $X$ 到 $Y$ 的所有连续映射时, 它们之间的同伦是一个等价关系. 往往更重要的是映射的同伦等价类, 而非具体或特殊的代表元. 我们以一个特殊例子来阐述这一点. 在此之前先介绍同伦的推广, 所谓的相对同伦.

Def(相对同伦). 设 $X,Y$ 是两个拓扑空间, $A,B$ 分别是它们的闭子空间. 考虑二元组 $(X,A)$ 和 $(Y,B)$. 设 $F,G:\ X\rightarrow Y$ 是两个连续映射, 并且满足 $F(A)\subset B$, $G(A)\subset B$. 即 $F,G$ 连续地将 $(X,A)$ 映入 $(Y,B)$ 中. 称 $F$ 和 $G$ 是相对同伦的(relatively homotopic), 若存在连续映射 $H:X\times I\rightarrow Y$, 使得

\[H(A\times I)\subset B,\quad H(x,0)\equiv F(x),\quad H(x,1)\equiv G(x).\]

注意到, 这里我们加了条件: $H_t(A)\subset B$, 对任意 $t\in[0,1]$. 当 $A=\emptyset=B$ 时, 定义就回到了原始“同伦”的定义. 对于相对同伦, 我们还是记为 $F\sim G$.

容易验证, 相对同伦在所考虑的空间内是一个等价关系(见问题797).

译自[1] P.267

References:

[1] William M. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, second edition.

其他参考书:

尤承业, 基础拓扑学讲义. 北京大学出版社.