问题

设 $M$ 是流形, 若恒同映射 $\text{id}:M\rightarrow M$ 同伦于常值映射 $f_b:M\rightarrow\{b\}$. 则称 $M$ 是可缩的(contractible). ($M$ 可缩至 $b$.)

例:

$\mathbb{R}^n$ 中任意星形开集 $U$ 都是可缩的.

任取 $b\in U$, $U$ 到 $b$ 点的同伦可取为 $H(x,t)=(1-t)x+tb$.

性质:

可缩空间的基本群是 $\{e\}$(或写成 $\{1\}$), 即只含有单位元的平凡群. 从而可缩空间是单连通的.

但是单连通并不意味着可缩, 比如 $S^n$, $n>1$ 都不是可缩的, 但其基本群是 $\{e\}$.