问题及解答

证明: 微分同胚的流形具有相同的维数.

设 $M^n$, $N^m$ 是两个微分同胚的 $C^r$ 微分流形, 维数分别是 $n,m$. 根据定义, 存在同胚映射 $f:M\rightarrow N$, 使得 $f$ 和 $f^{-1}$ 均是 $C^r$ 映射. 现在要证 $m=n$.

任给 $N$ 上的局部坐标图卡 $(V,\psi)$, 存在 $(U,\varphi)$, 使得 $f(U)\subset V$. 且

\[
\psi\circ f\circ\varphi^{-1}:\ \varphi(U)\subset\mathbb{R}^n\rightarrow\psi(V)\subset\mathbb{R}^m,
\]

和

\[
\varphi\circ f^{-1}\circ\psi:\ \psi(V)\subset\mathbb{R}^m\rightarrow\varphi(U)\subset\mathbb{R}^n
\]

都是 $C^k(k\leqslant r)$ 映射.

但事实上, 如果 $n\neq m$, 则 $\mathbb{E}^n$ 与 $\mathbb{E}^m$ 不同胚. 详见问题1599.