Answer

问题及解答

$S^n$ 能否嵌入到 $\mathbb{R}^n$ 中去?

Posted by haifeng on 2015-07-22 21:55:30 last update 2015-07-22 21:55:30 | Edit | Answers (1)

$S^n$ 能否嵌入到 $\mathbb{R}^n$ 中去?

1

Posted by haifeng on 2015-07-23 09:26:27

假设存在嵌入映射 $f:\ S^n\rightarrow\mathbb{R}^n$, 则 $f(S^n)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的紧致子集.

取点 $p\in S^n$, 记 $q=f(p)$, $U=S^n-\{p\}$, 则 $f(S^n)=q\cup f(U)$.

由于 $U$ 同胚于 $\mathbb{R}^n$ 或 $B^n$(是指 $\mathbb{R}^n$ 中的开球), 故 $f(U)$ 也同胚于 $B^n$.

并且 $f(U)$ 内部一定存在一个开球, 故 $f(U)$ 的边界长度一定大于零, 从而与 $q$ 并在一起不可能成为一个紧致子集.

因此 $S^n$ 不可能嵌入到 $\mathbb{R}^n$ 中.