问题及解答

[Thm] 设 $F\rightarrow E\rightarrow B$ 是一个纤维丛, 设 $y_0\in E$, $x_0=\pi(y_0)\in B$. 这里 $\pi:E\rightarrow B$.

纤维 $F=\pi^{-1}(x_0)$. 则存在一个同伦群的长正合序列

\[
\cdots\rightarrow\pi_{k+1}(B,x_0)\rightarrow\pi_{k}(F,y_0)\rightarrow\pi_{k}(E,y_0)\rightarrow\pi_{k}(B,x_0)\rightarrow\pi_{k-1}(F,y_0)\rightarrow\cdots
\] 

此长正合序列终于 $\pi_1(B,x_0)$. 映射 $\pi_{k}(F,y_0)\rightarrow\pi_{k}(E,y_0)$ 和 $\pi_{k}(E,y_0)\rightarrow\pi_{k}(B,x_0)$ 分别由映射 $F\rightarrow E$ 和 $E\rightarrow B$ 所诱导.

References:

Michael Hutchings, Introduction to high homotopy groups and obstruction theory. [pdf]